نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2011: الفيزياء 1 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2011 - Filière TSI

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les des questions
abordées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

L’épreuve se compose de deux problèmes indépendants.

1°" Problème
Thermodynamique
1ère partie : étude d’une cogénération
Données :

e Constante des gaz parfaits : R= 8,32 J.K!.mol"* ;

e Masse molaire de l’air : Mar = 29,0 g.mol-" ;

e Masse molaire du méthane : Mn = 16,0 g.mol-! ;

e Masse molaire de l’eau : Me = 18,0 g.mol-* ;

e Capacité thermique massique de l’eau supposée constante : c = 4,18 kJ.kg!.K"! ;
e 1 bar= 105 Pa.

La cogénération est une technique qui consiste à produire, avec une même machine
et à partir d’un seul combustible (en général le gaz naturel), de l’électricité et de la
chaleur. Elle permet d’obtenir un rendement global (électricité-thermique) plus élevé que
celui résultant d’une production par filière séparée. L’économie d’énergie primaire est de
l’ordre de 20 %.

Le synoptique de fonctionnement du dispositif est donné par la figure 1.

gaz d'échappement

eau chaude

énergie
électrique

moteur
thermique à gaz

alternateur 2
échangeur

alimentation saude
Baz refroidissement
figure 1 du moteur

Le moteur, alimenté en gaz naturel considéré comme du méthane, est couplé à un
alternateur pour la fourniture du courant électrique. Les deux échangeurs thermiques

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permettent de récupérer la chaleur dégagée par le moteur et les gaz d’échappement et
produire l’eau chaude destinée au chauffage.

1.1. Généralités sur les moteurs thermiques

Un moteur ditherme est un système fermé échangeant un travail W avec l’extérieur,
une chaleur ‏عن‎ avec une source froide (température Tr) et une chaleur Qc avec une
source chaude (température Tec).

1.1.1. Représenter par un schéma de principe un moteur ditherme en faisant apparaître,
les sources de chaleur, et le sens des échanges d'énergie.

1.1.2. Exprimer le rendement 7 du moteur ditherme en fonction de Qcet Qr.

1.1.3. Quelle est l'expression du rendement maximal ‏مم7‎ du moteur ditherme dont le
fonctionnement est décrit par le cycle de Carnot. On définira le cycle de Carnot.

1.1.4. Existe-t-il à priori, un moteur de plus grande performance, à Tr et Tc données ?
1.2. Second principe de la thermodynamique

1.2.1. Enoncer le second principe de la thermodynamique. Donner sa formulation
mathématique. Expliquer pourquoi ce principe est un principe d’évolution.

1.2.2. Donner l’expression de la variation ‏يه‎ de l’entropie d’un gaz parfait au cours d’une
transformation élémentaire en fonction de dT et dV.

1.2.3. On rappelle l’équation de Laplace liant la température T et le volume V pour un
gaz parfait : 270 = constante. Retrouver cette relation et préciser les conditions de sa
validité.

1.3. Etude du moteur thermique

Le moteur thermique de la cogénération, analogue à ceux des automobiles à essence,
fonctionne selon le cycle théorique de Beau de Rochas :

- premier temps : de A à B, admission à pression constante Pa = Ps = 2,00 bar du
mélange {air, gaz naturel}, à la température T5= 300 K ;
- deuxième temps : de B à C, compression adiabatique réversible ;
- troisième temps :
e de Cà D, combustion interne du mélange à volume constant ;
e de D à E, détente adiabatique réversible des gaz d’_échappement ;
- quatrième temps :
e de Eà B, refroidissement isochore grâce aux échangeurs ;
e de Bà A, échappement des gaz brûlés à pression constante.

Le moteur est constitué de 16 cylindres représentant une cylindrée totale
Va - Va = 71,0 L. Le rapport de compression volumétrique est rw = Vr/Va = 11,7. La
vitesse de rotation de son arbre est œ = 1500 tours/min. Un cycle correspond à deux
tours de l’arbre moteur.

Les transformations sont supposées quasi statiques. Les gaz sont assimilés à un gaz
parfait dont le rapport des capacités thermiques massiques à pression et volume
constants vaut 7= ‏ولب‎ = 1,32. On admet que la combustion ne modifie pas le nombre
de moles de gaz.

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1.3.1. Représenter l’allure du cycle dans le diagramme de Clapeyron P = P(V). Placer sur
ce diagramme les points A, B, C, D et E en précisant le sens de parcours du cycle.

1.3.2. Calculer la durée æ d’un cycle.

1.3.3. Calculer la masse mai d’air admise dans les cylindres à chaque cycle. Pour faire ce
calcul et uniquement pour cette question, on néglige la masse de gaz naturel introduite.
En déduire le débit massique d’air dair à l’admission.

1.3.4. Le débit massique de gaz naturel à l’admission est den = 7,80.10-2 kg.s-! et le débit
massique des gaz d’échappement est dge = 2,140 kg.s-!. En effectuant un bilan de masse,
retrouver le débit massique d’air dar à l’admission obtenu en question 1.3.3.

1.3.5. Calculer la température Tc du mélange gazeux {air, gaz naturel} en fin de
compression.

1.3.6. Calculer les nombres de moles de gaz naturel nan et d’air Mar admises dans les
cylindres à chaque cycle.

1.3.7. Etablir l’expression puis calculer la valeur numérique du travail ‏دوم‎ reçu par le
mélange supposé idéal au cours de la compression pour un cycle.

1.3.8. La combustion interne du mélange libère une puissance thermique Pc = 3470 kW.
Le travail Wpz cédé par les gaz d’échappement au cours de la détente pour un cycle est

1.3.8.1. Calculer le rendement thermodynamique 7 du moteur.

1.3.8.2. Sachant que l'alternateur produit P; = 1200 kW de puissance électrique,
calculer le rendement mMca de la conversion énergie chimique de combustion
-› énergie électrique.

1.4. Etude des échangeurs thermiques

1.4.1. Le premier échangeur, haute température, refroidit directement le moteur grâce à
une circulation d’eau sous pression qui rentre dans le moteur à 6. = 82 °C et en sort à
6; = 92 °C. Etablir l’expression de la puissance thermique Pa récupérée par l’eau grâce à
cet échangeur. En déduire le débit volumique De de l’eau dans l’_échangeur pour
récupérer une puissance thermique ‏يوط‎ = 656 kW. On donne la masse volumique de l’eau
à la température moyenne d’échange ue = 968 kg.m-3.

fluide 2

fluide 1

figure 2

1.4.2. Le deuxième échangeur, basse température, est un échangeur à plaques où les
gaz d’échappement et l’eau circulent à contre courant. Il permet de récupérer une
puissance thermique P’n = 967 kW. Expliquer qualitativement pourquoi la circulation
des fluides à contre-courant (figure 2) augmente l'efficacité de l’échangeur par rapport à
une circulation à co-courant. Tracer l’allure des graphes donnant l’évolution de la
température le long de l’échangeur pour chaque fluide. On les notera T;; et ‏.و‎

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1.4.3. Calculer le rendement me de la conversion énergie chimique de combustion -›
énergie thermique pour les deux échangeurs.

2°"° problème
Electromagnétisme

Le présent problème propose l’étude du dipôle électrique en régime statique puis
en régime variable. Aucune connaissance sur le rayonnement dipolaire n’est nécessaire
pour traiter la deuxième partie de ce problème. On s’intéresse dans une troisième partie
à la réflexion d’une onde électromagnétique sur une cible mobile.

Il est à signaler que les parties composant ce problème sont largement indépendantes
entre elles.

Données :

e Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3.108 m.s-! ;
2
x 4

e Les vecteurs ex ; e, 7 e. désignent les vecteurs unitaires selon les axes Ox, Oy, Oz

du repère R(O, x, y, 2. Les vecteurs e, , eo , ep désignent les vecteurs unitaires de

la base associée aux coordonnées sphériques (r, 9, @) d’un point M de l’espace.

1. Dipôle électrostatique

Un dipôle électrostatique est constitué de deux charges ponctuelles -q et +q
placées sur l’axe Oz. La charge -q est située en Mz = -a/2) et l’autre charge +q est placée

1.1. Donner l'expression du moment dipolaire électrique Po de la distribution décrite
ci-dessus en fonction des données. Quelle est son unité ?

1.2. Donner l’expression du potentiel électrostatique V,(M) créé au point M de l’espace
par la charge ponctuelle +9.

1.3. En fixant, par convention, le potentiel à l’infini égal à O, donner l’expression du

potentiel électrostatique V(M) créé par les deux charges au point M.

1.4. Justifier clairement que le champ électrostatique créé par les deux charges au
point M s’écrit sous la forme E(M)= E,(r,0)e, + E,(r,0)eoet que V(M)=V(r,0).
1.5. Les deux charges sont maintenant très proches l’une de l’autre, et l’on s'intéresse

à l’expression du potentiel électrostatique en un point M tel que r ›› a. Etablir alors
l’expression approchée du potentiel V(M). On se limitera à l’ordre 1 en a/r.

1.6. Etablir l’équation des équipotentielles loin du dipôle en coordonnées sphériques.

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1.7. Déterminer les composantes radiale et orthoradiale du champ électrostatique créé

par le dipôle loin de celui-ci.

1.8. Etablir l’équation des lignes de champ loin du dipôle en coordonnées sphériques.

1.9. Dessiner l’allure des équipotentielles et des lignes de champ dans le plan
© = constante en n’oubliant pas d’orienter ces dernières.

2. Dipôle électrique oscillant

On modélise un dipôle électrique oscillant par une charge ‏و-‎ fixe à l’origine O du
référentiel R(O, x, y, Z) et par une charge +q au point P de l’axe Oz. La charge +q est
animée le long de cet axe d’un mouvement sinusoïdal de pulsation w et d’équation :

On définit, en régime variable, le moment dipolaire du dipôle électrique oscillant
par p(1)= p(i)e:, avec p(t) = pycos() et p, = ga.

Le calcul du champ électromagnétique (E(M 1), B(M 1)) créé par le dipôle p(t) en
un point M de coordonnées sphériques (r, 0, @) donne, en notation complexe et dans les
conditions où r ›› a et À ›› a ; À étant la longueur d’onde associée à l’onde
électromagnétique émise par le dipôle :

B(M , 1) -" 7 ٍ ‏ب‎ 0 = jki ) sin(6 ) exp [- ils -ki 1 ‏نم6‎
‎4777

k étant le module d’onde associé à l’onde électromagnétique émise. On pose

27
k = — = a avec cla vitesse de l’onde dans le vide.

2.1. Commenter qualitativement les deux approximations : r›› a et À ›› a.
2.2. Justifier le terme kr dans la phase instantanée du champ électromagnétique.

2.3. Montrer que l'expression du champ électromagnétique est en accord avec la
symétrie du problème.

2.4. Que devient le champ électromagnétique en régime quasi stationnaire ?
2.5. Que devient le champ électromagnétique en régime stationnaire ? Commenter.

2.6. On s’intéresse dans la suite de cette partie au champ électromagnétique au
voisinage d’un point situé à grande distance du point O où se trouve le dipôle. Dans cette
zone, appelée zone de rayonnement, le champ électromagnétique a pour expressions :

me = te, ‏اله )ز‎ - kr)]ee

u Eee - j(t - kr)]es et -
2.6.1. Identifier parmi les deux expressions ci-dessus, celle du champ électrique E(M,1)

et celle du champ magnétique B(M ,1( . Justifier votre réponse.

2.6.2. Donner l’expression de l’amplitude E

(r,60) du champ électrique en un point M en

fonction de ret 6.

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2.6.3. Que vaut le rapport 7 2 Montrer que dans la zone dite de rayonnement, le champ

électromagnétique créé par le dipôle électrique oscillant a localement la structure d’une
onde électromagnétique plane progressive. Préciser sa direction de propagation et son
état de polarisation.

2.6.4. Calculer le vecteur de Poynting 11. correspondant à l’onde rayonnée ainsi que sa

valeur moyenne ›11. › dans le temps. Montrer que cette moyenne s’écrit sous la forme

‹IIL› = 7 à e, . Exprimer la grandeur ‏ا‎ en fonction de a, wet po et
7

donner son unité. Décrire la variation spatiale de ‹II,›, module de ‹il.›.

2.6.5. Calculer la puissance électromagnétique moyenne › P, › rayonnée dans tout

l'espace à travers la sphère de centre 0 et de rayon r. On l’exprimera en fonction de ‏م‎

À, a, et ‏ىن‎ puis en fonction de E ,(r)= E,(r,0= 5 ,7 Hetc.

2.6.6. On définit la résistance de rayonnement du dipôle par la résistance Re du

conducteur ohmique qui, parcouru par un même courant de valeur maximale 7

dissiperait la même puissance par effet Joule. Donner l’expression de Re en fonction de
À, ‏مه‎ Het c.

2.6.7. Sachant que l'amplitude du champ électrique détecté par un récepteur situé à la
distance r, dans le plan xOy, est E,(r), calculer la puissance ‹P › nécessaire

d'émission pour r= 10 km puis pour ‏دج‎ 1000 km. On donne : E,(r)= 101710

3. Application : réflexion d’une onde électromagnétique sur un conducteur
parfait

Un radar a pour but de déterminer la position d’une cible, mais aussi sa vitesse grâce
à l’effet Doppler. La fréquence f, de l’onde électromagnétique réfléchie par la cible mobile
est différente de la fréquence f, de l’onde émise par l’antenne émettrice du radar. Dans

le voisinage d’un point situé à grande distance du point O où se trouve l’_émetteur, le
champ électromagnétique est pratiquement uniforme. D'autre part, en tenant compte du
résultat de la question 2.6.3., on peut caractériser l’onde électromagnétique rayonnée

dans cette zone par le champ électrique : E,(M,1) = Eo exp|-j(@1-k,r) | . Afin de

simplifier, on choisit Eo = ‏عر‎ et 3 = k,es . Cette onde, dite incidente, se propage dans

l’air assimilé au vide et tombe en incidence normale sur un plan conducteur parfait de
côte X (figure 1).

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plan ‏اع أن‎ parfait
onde incidente

0 onde réfléchie x

3.1. Rappeler l’équation de propagation du champ électrique et vérifier que le champ

E, (M,1) satisfait cette équation. En déduire la relation entre ‏ا‎ et @..

3.2. Quel est l’état de polarisation de l’onde incidente ? Quelle est sa direction de
propagation ?

3.3. Déterminer l’expression du champ magnétique B, (M,t) de cette onde.

3.4. Quelle est la définition d’un conducteur parfait? Justifier que le champ
électromagnétique est nul dans un tel conducteur.

3.5.  Rappeler en se servant d’un schéma clair les relations de passage des champs
électrique et magnétique à l’interface air-conducteur parfait.

3.6. Comment justifier l’existence d’une onde électromagnétique réfléchie ?
On admet que cette onde est plane progressive monochromatique de champ électrique :

E,(M ‏ار‎ En exp [-i@, - k,7)] . En exploitant la relation de passage, déterminer E,,.
© et 3 . En déduire le champ magnétique B, (M,t) de l’onde réfléchie.

Le plan conducteur parfait est en réalité une cible mobile le long de l’axe Ox à la
vitesse constante v = ve. (v ‹‹ c) par rapport au référentiel R(O, x, y, Z) supposé galiléen
lié à l’émetteur fixe. On note R’(0?, x, y, 2 le référentiel lié à la cible (assimilée à un plan
conducteur parfait) en translation par rapport à R. L’onde incidente de champ
E, (M,t) = E,exp [- ‏)ل‎ - k,x)] e, est réfléchie par la cible et donne naissance à une onde
réfléchie de champ E,(M,1) = r,E,exp [-j(0t+k,x)] e,. Ces deux champs sont
mesurés dans le référentiel fixe R.

3.7. Etablir, dans le cadre de la mécanique non relativiste, l’expression des champs

électriques incident E, (M,t) et réfléchi E, (M,t) mesurés dans le référentiel mobile 1

Montrer que ces deux champs se mettent sous la forme : E'(M 1) = ‏ا‎ - JE 01.) et

0

3.8. Etablir l’expression de X en fonction du temps t.

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3.9. Ecrire la relation de passage du champ électrique en x = X dans le référentiel
mobile R’. En déduire le coefficient r, de réflexion de l’onde pour l’amplitude et la
fréquence f, de l’onde réfléchie mesurée dans le référentiel R. On exprimera ces deux
grandeurs en fonction de la fréquence f; de l’onde incidente, de v et de c. Commenter.
3.10. Exprimer la diminution relative de fréquence par réflexion sur le conducteur
mobile.

3.11. Un détecteur d’onde électromagnétique convertit l’onde réfléchie par la cible en un
signal électrique ur(t) = Ur cos(2x f,t + ®). Un oscillateur de référence fournit un signal
électrique synchrone du signal d’émission ui(t) = U; cos(2x ft). Ces deux signaux sont
ensuite appliqués à un multiplieur de constante k’ qui délivre en sortie le signal

3.11.1. Donner le spectre de la tension us{t).

3.11.2. Le multiplieur est-il un composant linéaire ? Justifier votre réponse.

3.12. Le signal ‏)ينا‎ est envoyé sur un filtre électrique. Déterminer la nature de ce filtre
pour que l’on récupère en sortie un signal permettant la mesure de la fréquence
Af = If, ‏ب‎ 7 . Proposer un schéma simple de ce filtre en précisant les conditions de son
bon fonctionnement.

3.13. Application numérique : Un véhicule circulant en agglomération (vitesse limitée à
60 km/h) est contrôlé par un radar Doppler de la police ( f, = 24,125 GHz). Au passage du
véhicule l'onde écho est de fréquence f, = f, - 2500 Hz. On suppose que l’angle entre

l'axe du faisceau radar et l'axe de déplacement du véhicule mesuré est nul.

3.13.1. Calculer la longueur d’onde À de l’onde émise par le radar.
3.13.2. À partir de quelle distance peut-on se situer dans la zone de rayonnement
du radar ?
3.13.3. Ce véhicule est-il en infraction ?
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