نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2016: الرياضيات 2 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Enseignement Supérieur de la Recherche
Scientifique de la Formation des Cadres

Présidence du Concours National Commun
Ecole Nationale Supérieure des Mines de Rabat

CONCOURS NATIONAL COMMUN
d'admission aux Etablissements de Formation d'Ingénieurs et

Établissements Assimilés

Session 2016

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES II

Filière PSI

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit

page de garde

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Concours National Commun — Session 2016 — Filière PSI

L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI,
comporte 4 pages.
L’usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit.

Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté
et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il
est amené à prendre.

Le sujet de cette épreuve est composé de deux problèmes indépendants entre eux.

Durée : 4 heures

Problème 1

Soit F un espace vectoriel sur le corps K de dimension finie n,n › 2, K = R ou ‏.أ‎ On note Idr
l’endomorphisme identité de F. Soient F et 6 deux sous espaces vectoriels de F, non réduit au seul
vecteur nul. On suppose que F' et G sont supplémentaires dans F, et on écrit F = F © G. On appelle
projection de F sur F' parallèlement à G, l'application ‏م‎ définie sur F, comme suit, pour tout x de ‏ا‎
‎tel que x = 11 + ‏بو‎ 71 6 F et 19 6 G, p(x) = 71. Soient u1,u2 deux éléments de F, on note Vect(u1)
(resp. Vect(u1, u2)) le sous espace vectoriel de F engendré par uw, (resp. u1 et u2).

Partie I

1. Soit p un endomorphisme de F, montrer que p est une projection de F sur F parallèlement à G,
si et seulement si, po p = p, et dans ce cas F = Imp et G = kerp.

2. On considère l’endomorphisme ‏و‎ de 103, dont la matrice dans la base canonique de R* est

2 0 0
A=111 1 -1
1 — 1

a) Vérifier que ‏و‎ est une projection de RS sur F parallèlement à G, dont on précisera les
vecteurs u, v et w tels que F = Vect(u, v) et G = Vect(w).

b) Montrer que g est diagonalisable.
c) Déterminer une matrice P inversible et une matrice diagonale D, telles que A = PDP".
3. On suppose que RS est muni du produit scalaire euclidien canonique noté (, ) et la norme associée
sera notée ||.|. Soit K un sous-espace vectoriel de 183, on rappelle que la projection notée px sur
K parallèlement à Æ* est appelée la projection orthogonale sur K.
i) Déterminer a € R$\ {0} tel que R° = F © D, avec D = Vect(a) et a € F+.
ii) Montrer que, pour tout 7 € RS, pp(x) = ja.

iii) Montrer que, pour tout x € 105, pr(x)= x — ‏م‎

iv) En déduire les coordonnées ‏عل‎ w dans la base (u, v, a).

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Concours National Commun — Session 2016 — Filière PSI

Partie IT

Dans cette partie, on prend Æ un espace vectoriel sur le corps C des nombres complexes, de dimension
finie n, n › 2. Pour tout entier naturel m, Ch [X] représente l’ensemble des polynômes à coefficients
complexes, de degré inférieur ou égal à m.

On désigne par N le polynôme de C,n[X] défini par N(X) = 4X3 — 6X? + 3X — 1 et soit f un
endomorphisme de Æ vérifiant la relation N(f) = 0.

1. Montrer que 1 est la seule racine réelle de N. Posons a et à les deux autres racines non réelles
et conjuguées.

2. Calculer a + à et aû.

3. On note L1, La, La, les polynômes définis par :

Montrer que (L1, La, L3) est une base de Ca[X].

4. On désigne par  l’application qui, à tout polynôme P de C[X], associe le reste dans la division
euclidienne de P par N.

a) Montrer que ‏أي ب‎ un endomorphisme d’espaces vectoriels de C[X].
b) Déterminer kerw. Est-ce que ‏ب‎ est injective ? Justifier la réponse.

c) ‏ب‎ est-elle surjective ? Justifier la réponse.

5. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un unique triplet (an, bn, Cn) de C*, tel
que v(X") = An L1 + bp La + Ch La.
b) Vérifier que ch = 3 et exprimer ap, bn en fonction de a, à, n.
c) Prouver que, pour tout entier naturel n, f" = an L1(f) + bnLa(f) + CnL3(f)-

d) Montrer que les suites (an) et (bn) sont convergentes vers des réels respectifs notés a et b.

6. On considère l'application suivante h = al1(f) + bLa(f) + cL3(f).

(a) Montrer que h = 3(4f? — 2f + Idz).

(b) Vérifier que h est une projection.

Problème 2

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, on désigne par F = M, (R) l’espace vectoriel des matrices
carrées d’ordre n à coefficients réels et on note par 2*7 = L(E,R), le R-espace vectoriel des formes
linéaires sur F, (une forme linéaire sur Æ est une application linéaire de F sur R). On rappelle qu’un
hyperplan de Æ est un sous-espace vectoriel supplémentaire à une droite vectorielle dans #. La matrice
transposée de M est notée "M. Si M € F, on note Vect(M) le sous-espace vectoriel de E engendré
par M. On désigne par I, la matrice unité de M, (R) et pour tout s € N*, on note [1, s] = {1,...,n}-.
On définit l’application trace, notée Tr, de F vers R comme suit, pour tout M = (m;j)1‹i,j‹n 6 FE,

L’objet du problème est de montrer que tout hyperplan vectoriel de ‏ا‎ contient au moins une matrice
inversible.

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Partie I
Étude de quelques propriétés de l’application trace
1. a) Montrer que Tr est une forme linéaire.
b) Montrer que pour tous éléments À et B de F, Tr(AB) = Tr(BA).
c) Déterminer la dimension de ker Tr.

d) Montrer que F = ker Tr © Vect(I,)-
2. Soit ‏م‎ l’application qui, à toute matrice M de E associe ÿ(M) = M + Tr(M)I,-

a) Montrer que ‏م‎ est un automorphisme de F.
b) i) Déterminer F1(ÿ) = {M € E; p(M) = M}.

iii) En déduire que est diagonalisable et déterminer les valeurs propres de .

3. Soit ‏ل‎ une matrice non nulle de Æ dont la trace est nulle. On considère  l’endomorphisme de
E qui, à toute matrice M de E associe (M) = M + Tr(M)J.

a) Vérifier que le polynôme X? — 2X + 1 est un polynôme annulateur de w.
b) Montrer que 1 est la seule valeur propre de ‏.بن‎

c) est-il diagonalisable ? Justifier la réponse.

Partie IT

Un premier résultat préliminaire

Soient F' et G deux espaces vectoriels de dimensions respectivement finies ‏م‎ € N* et m € N*. Soit u
une application linéaire de F vers G, de rang r tel que 7 € N*. Mm,p(R) désigne l’espace vectoriel des
matrices à coefficients réels, à m lignes et p colonnes.

1. Soit 71 un supplémentaire de keru dans F, on considère l’application v : F, — Im(u) telle que
x + v(x) = u(x). Montrer que v est un isomorphisme.

2. On suppose que 0 › r › min(p,m) et on note B = (e1,...,ep) une base de F, telle que
(e1,...,e,) soit une base de F, et (e-+1,...,€p) une base de keru. On pose, pour tout entier

a) Montrer qu’il existe une famille (€-+1,.- , Em) de vecteurs de G, telle que la famille

C = (E1,-.-,Em) soit une base de G.

b) Déterminer Matg, c(u), la matrice de u relativement aux bases B et C.

3. En déduire que pour toute matrice M de Mm,p(R), si 0 › r = rg(M) › min(m, p), alors il existe
deux matrices inversibles S et T' respectivement de M, (R) et M,(R) telles que M = SJImp,r TT 1

avec Jmp,r = ( 0 € Mm,p(R) et I, la matrice identité de M,(R).

4. Quelle est la forme de la matrice ‏ميم‎ dans chaque cas suivant,
(0‹r=p‹m) (0‹r=m‹p) (0‹r=m-= p)? Justifier la réponse.

Partie ITI

Un deuxième résultat préliminaire

Soit L un espace vectoriel sur R de dimension finie s(s € N*). Notons L* = L(L,R) l’espace des formes
linéaires de L. Soit B = (l,...,l,) une base de L. On note, pour tout : € [1, s], 7 la forme linéaire
; ; 1 siàt=7
sur L définie de la façon suivante, pour tout entier j € [1, s], 7 ‏(يا)‎ = 62, où 67 = ١ 1 le
0 sinon
symbole de Kronecker.

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1. Montrer que B* = (If, ,lÿ) est une famille libre de L*.

2. Soit x € L tel que x = ‏نل‎ x;l;, montrer que, pour tout 7 € [1, s], 1; (x) ‏برح‎

3. En déduire que B* est une famille génératrice de L*.
4. En déduire la dimension de L*.

Partie IV

Une caractérisation d’une forme linéaire sur 7

Soit A une matrice de F, on définit l’application ‏يرن‎ de F vers R, de la façon suivante, pour tout M

1. Vérifier que 4 est une forme linéaire sur F.

css ; 1 1
2. Comme cas particulier, seulement dans cette question, on prend n = 2 et A = ( ) ;

(a) Déterminer une base de ker(@4).

(b) Vérifier que ker(& 4) contient au moins une matrice inversible.

3. Soit h l’application définie de F vers E* par A + h(A) = 64.
Soit (i,j) € [1,n] x [1,n], une matrice élémentaire ‏ريك‎ = (€r,1)1‹k,/‹n € Mn(R) est définie
comme suit, pour tout couple d’entiers (k,l) € [1,n] x [L,n], ex: = 0167, (61, (resp. 67) est le
symbole de Kronecker qui est défini dans la partie IIT).
a) Vérifier que h est une application linéaire.

b) i) On pose À = (ar,1)i‹k,i‹n € Mn (R) et soit (1, j) € [1,n] x [1, n], calculer d4(F;;) en
fonction des coefficients de la matrice de A.
ii) En déduire que h est injective.

c) En déduire que h est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Partie V
Tout hyperplan de F contient au moins une matrice inversible
Soit H un hyperplan de F.
1. Montrer que pour toute matrice 4 non nulle de F qui n'appartient pas à H, on a

2. Montrer qu’il existe une matrice B de E telle que H = ker(&a).

0 + + 0 1

1 0
3. On note r = rg(B) et on considère la matrice de EF, P,= | 0

0 0 1 0

a) Montrer que / est une matrice inversible.
Tryi=l si l‹i‹r

b) On suppose que 0 › r › n et on note R, = (ri ) 1‹i,j‹n; avec ;
MS r,j = 0 sinon

Montrer que ‏ف‎ appartient à ker(Gr,).

4. En déduire que tout hyperplan H de E contient au moins une matrice inversible.

FIN DE L’ÉPREUVE

Épreuve de Mathématiques 1 Page 4/4

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