نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2013: علوم المهندس - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun Session 2013  MP-PSI

SYSTEME DE PRISE

DE CLICHES MEDICAUX
- IMAGERIE MEDICALE -

Le sujet se compose de :

L’énoncé : 18 pages,

Documents techniques : DT1, DT2 et DT3

Documents réponses : figures DR1, DR2, DR3, DR4, DR5 et DR6

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1.1. LA PRISE DE CLICHES MEDICAUX

La prise de clichés médicaux est une application particulière de la radiographie rayons X
qui permet l'exploration anatomique des vaisseaux sanguins et notamment la visualisation des
vaisseaux coronaires.

Pour cette prise de clichés, on administre des produits iodés hydrosolubles injectés à
distance et éliminés sélectivement par les reins. Cette technique permet d’obtenir des images
de grande qualité par soustraction d’une image obtenue sans produit (image de masque) et
d’une image avec produit (image de contraste).

1.2. LA RECONSTITUTION D'IMAGE 3D.

La reconstitution d’image tridimensionnelle permet la mise en volume des objets étudiés
ce qui en facilite la compréhension (figures 1 & 2). Celles-ci sont obtenues grâce à une série
d'images planes de masque et de contraste. La qualité de l’image reconstituée est liée à la
bonne correspondance entre ces deux images. Le patient doit rester immobile pendant
l’examen.

L’obtention d’une image de bonne qualité suppose l’alignement parfait du tube émetteur
de rayons X avec le récepteur image ainsi qu’une grande stabilité et une grande rigidité du
positionneur.

Le nombre de radiographies pratiquées ainsi que la dose d’exposition au cours d’un
examen doivent être limités car les rayons X, à partir d'une certaine quantité, deviennent des

agen ts mu tage nes.

Figure 1 : Reconstruction 3D Figure 2 : Reconstruction 3D

Pour réaliser de tels clichés, le sous-système de formation de l’image doit avoir une

excellente répétabilité des mouvements utilisés.

2[ - 7-3١١3

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1.3. LE SYSTEME D'IMAGERIE

Une analyse fonctionnelle préliminaire a permis de fournir le SADT A-O ci-dessous.

Consignes
manipulateur en
électro-radiologie

Patient à positionner e Positionner un patient et Patient positionné et
Prise de clichés non Réaliser la prise de prise de clichés effectuée
effectuée clichés An

Système d'imagerie médicale
Figure 3 : S.A.D.T A-0

L'architecture du système étudié est définie sur les documents techniques 1311 21013. Le

système d'imagerie est constitué de :

© un système de positionnement du patient par rapport au sol, constitué d’une table mobile
en translation par rapport au sol suivant les directions Xo, Ÿo et Zo. Ces trois translations
indépendantes permettent de positionner l’organe à ausculter à l’iso-centre O du
positionneur (voir DT1-D'T2).

© un système de positionnement du faisceau de rayons X par rapport au patient, constitué
de l’épaule 1, du bras d’arceau 2 et de l’arceau 3 qui supporte le tube émetteur de rayons
X et le récepteur image. Trois mouvements de rotation autour d’axes concourants à l’iso-
centre O permettent d’orienter le faisceau de rayons X (voir D'T2).

© un système de prise de clichés, constitué du tube émetteur de rayons X, du récepteur

image et de l’armoire de traitement numérique de l’image.

Question 1 : sur le document réponse (figure DR1), compléter le SADT niveau AO (A zéro) du
système d’imagerie médicale.

Le diagramme FAST partiel de la figure 4 permet de traduire le positionnement de la table
et donc du patient par rapport au sol.

Question 2 : A l’aide du diagramme FAST fourni ci-dessous (figure 4), compléter, sur le
document réponse (figure DR2), le schéma cinématique en perspective permettant de définir la

structure cinématique de la table.

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Positionner Translater le chariot 1 par 8 ;
Guider le chariot 1 par rapport au
la table par rapport rapport au bâti sur ‏ما‎ = bâti par rappo
au sol
_| Asservir la position du chariot 1_ par
rapport au bâti

Translater le chariot 2 par Guider le chariot 2 par rapport au
rapport au chariot 1 sur Yo chariot 1

Asservir la position du chariot 2 par
rapport au chariot 1

Translater la table par _| Guider la table par rapport au chariot 2
rapport au chariot 2 sur ‏م2‎ |

Asservir la position de la table par
rapport au chariot 2

Figure 4 : Diagramme FAST

II - LE POSITIONNEUR DU SYSTEME D’IMAGERIE ‏سس‎

2.1. DESCRIPTION

Les documents techniques fournis D'T1, 112 et DT3 décrivent la structure du
positionneur étudié.
Pour certains examens spécifiques d’un vaisseau, on souhaite que le faisceau de rayons X

reste constamment normal à l’axe du vaisseau à ausculter.

2.2. LA PRISE DE CLICHES

Le patient est maintenant correctement positionné par rapport au sol, il reste donc à
réaliser le pointage correct du vaisseau à ausculter.

Les mouvements x(t), B(t) et y(t) sont indépendants. On s’intéresse_pour toute la suite
du sujet, uniquement, au déplacement angulaire de l’arceau 3 : 4(t) = 0, B(t) = 0. Voir
112

La loi de commande de l’arceau 3 : Y(t) (voir figures 5 & 6 )
L’objectif de cette partie est :
- de calculer les différents paramètres utiles pour le choix du moteur.

- de vérifier l'homogénéité des différentes phases.
L’examen radiologique se déroule suivant différentes phases (voir figures 5 et 6) :

a ra ‏ا‎

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٠» Phase a : premier passage à petite vitesse PV ‏م‎ = +10°/s) afin de vérifier
qu’il n’y a pas de collision avec le patient.

« Phase b : retour à grande vitesse GV au point de départ (ÿç = —30°/s) après
10s d’attente.

« Phase c : second passage à grande vitesse GV (ÿ, = +30°/s) afin de réaliser la
prise de clichés de masque (pas de produits iodés) après 30s d’attente.

« Phase d : retour à grande vitesse GV (ÿ, = —30°/s) après 10s d’attente.

« Phase e : troisième passage à grande vitesse GV (ÿg = +30°/s) afin de réaliser
la prise de clichés de contraste (sous produits iodés) après 30s d’attente

« Phase f : retour à grande vitesse GV (ÿç = —30°/s) après 10s d’attente

« Phase g : arrêt obligatoire de 10min.

Dans un premier temps, on étudie la phase a. Les évolutions de l’accélération angulaire

ÿ (t) de l’arceau 3 sont données figure 5 avec :

Figure 5 : Accélération angulaire pour un aller PV (phase a)

Question 3 : À partir de la figure 5, Tracer sur votre copie l’allure des courbes de la vitesse
angulaire ÿ(t) et la position angulaire y(t) pour l’aller à petite vitesse PV (phase a).

Question 4 :
Nous avons, d’après les valeurs de l’accélération et de la décélération, ‏يا — وا‎ = t,.

Calculer alors les valeurs numériques de t,. y(t,), t2, t3 et y(t3).

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Dans un second temps, on étudie l’enchainement des phases a et b. La figure 6 modélise

la loi de vitesse angulaire Y(t) pour l’ensemble de ces deux phases.

Figure 6: Aller PV etretour GV

Question 5 : On admet les mêmes valeurs absolues d’accélération angulaire et de décélération

angulaire pour les phases a et b, déterminer la valeur numérique successivement des instants t4, ts.

Question 6 : l’égalité de la valeur absolue de l’accélération et celle de la décélération de la phase b
permet d’avoir ty — te = ts — ‏يا‎
‎a. Calculer la valeur numérique de la durée de la course angulaire parcourue de ta à t7
(durée du retour rapide) noté Trp-

b. Conclure par rapport à la durée de la course angulaire parcourue de O à ts.

111 - FONCTION « GUIDER L’ARCEAU 3 PAR RAPPORT AU

L’objectif de cette partie est d’analyser le guidage en rotation de l’arceau 3 par rapport au
bras 2. Les figures 7 et 8 représentent la structure du système de guidage en rotation et montrent

la disposition des galets par rapport au bras 2 et à l’arceau 3.

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Galet G 17
Galet G 18 ١

Galet 4 0 = = Ÿ ‏سيل‎ Galet 1

: Zone 1 de guidage 3

200862 de guidage Palonnier P2 ;

avecgalets G, (i=1,8) › = Ÿ \) SE

Arceau 3 2 | | — 12 13

Galet 6:5 6 0 ‏ب-----‎ UN
sm 2

“| Disposition des galets

dans une zone de guidage

La figure suivante (figure 9) représente le graphe des liaisons d’une zone de guidage.

‎liaison ponctuelle‏ :با

‎définies ci-après

‎Hypothèses :

‎- Les galets ‏ور بير جر بور بير‎ Et ‏ور‎ SONt en contact ponctuel avec frottement et
roulement sans glissement, on considérera, donc, deux inconnus statiques pour chaque
liaison ponctuelle avec l’arceau 3. l’hypothèse est valable pour les galets ‏بود برد‎ G73,
‏ود ريدو‎ et 6

‎- Les galets ‏مر‎ et ‏ور‎ sont en contact ponctuel dont le glissement est difficile à éviter. On
considérera, un inconnu statique pour chaque liaison ponctuelle avec l’arceau 3.

‎l’hypothèse est valable pour les galets ‏ور‎ et ‏ور‎

‎Question 7 : Par une simple analyse (sans calcul) du mouvement de l’arceau 3 par rapport au

‎bras 2. Donner Le nom de la liaison équivalente entre l’arceau 3 et le bras 2.

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Question 8 :
a. Quelle est la mobilité m du quidage en rotation
b. Calculer le degré d’hyperstatisme h de cette liaison.

c. Quels avantages présentent une liaison hyperstatique.

IV - FONCTION « ENTRAINER L’ARCEAU 3 PAR
RAPPORT AU BRAS 2

Cette partie consiste à valider le choix du codeur et le choix du moteur à courant
continu. Elle a pour objectifs, également, d’évaluer et de vérifier les performances de la

fonction : ENTRAINER L’ARCEAU 3 PAR RAPPORT AU BRAS 2

4.1 Choix du codeur et choix du moteur à courant continu.

L’objectif de cette étude est de valider la motorisation choisie pour l’entraînement
de l’arceau 3 par rapport au bras d’arceau 2.

La chaîne cinématique intervenant dans la commande de la liaison pivot de
l’arceau 3 par rapport au bras 2 est décrite par les deux figures suivantes (figures 10 et 11)

POULIE CRANTEE 5 GALETS
LIEE A L'ARBRE DE TENDEURS 6 & 7
TRANSMISSION 5

COURROIE

MOTEUR PRESS ‏بيد‎
‎ROTOR

CODEUR
INCREMENTAL

Figure 10

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a 2
Roue 5 ‏ا‎ Poulie crantée 5

: liée àl'arbrede Courroie Galets

: transmission 5 … crantée tendeurs6&7 A

Vis sans

Iso-centre

d'arceau 2
Rotor

Moteur CC
SANYO

Codeur
incrémental

Le tableau suivant résume certaines caractéristiques des éléments constituants la
motorisation de l’arceau 3 :

L’arceau 3
R=0A Rayon de l’arceau 3 7

20
Masse de l’arceau 3 260
m3

w3/2 A déterminer

Rapport de transmission de la courroie : K =
ws/2

Le réducteur roue et vis sans fin
ws;/2

Rapport de réduction =——
88 H w4/2 50

Rayon de la poulie crantée liée à la roue 5 30 m

Moment d'inertie de la vis sans fin 4 par rapport à 4.10° Kg.m°

son axe
Moment d’inertie de L'ensemble rigidement liéàla | Kg.m°
roue 5 par rapport à son axe

Le moteur à courant continu

Tension d’induit nominale 180 Volts (V)

Courant d’induit nominal 10 Ampère (A)

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Puissance mécanique de sortie
5 -5
Couple nominal

4.1.1 VALIDER LE CODEUR INCREMENTAL

Il s’agit de capteur rotatif opto-électronique de type incrémental.
C’est un capteur de position angulaire comportant (figure 12) :

= Un disque optique mobile avec cellules émettrices, cellules réceptrices
2 pistes (A et B) comportant É zone opaque ==

chacune une succession de
parties opaques et

tran sparentes.

= Deux cellules fixes, pour
chaque piste : une cellule
émettrice de lumière d’un côté

et une réceptrice de l’autre.

Le passage d’une zone transparente à une autre est détecté par les cellules réceptrices. Les
2 pistes sont décalées d’un quart de période et la rotation du disque permet d’avoir les signaux
de la figure 13 :
Exploitation des voies À et B

Les codeurs incrémentaux permettent 3 niveaux de précision d’exploitation :

piste B

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= Utilisation des fronts montants de la voie À seule. La résolution est égale au nombre de points ou traits (N).
= Utilisation des fronts montants et descendants de la voie À seule. La résolution est multipliée par 2 (2 x N).
= Utilisation des fronts montants et descendants des voies À et B. La résolution est multipliée par 4 (4 x N).

= La fréquence de l’un des signaux délivré est défini par le nombre de traits par seconde.

3/2

Question 9 : La courroie est inextensible, donner l’expression et la valeur du rapport K =
Ws/2

Question 10 : Le capteur exploite les fronts montants et descendants des deux voies À et B et la
mesure est faite sur l’arbre moteur (rotor). La résolution (précision) requise sur la position de
l’arceau 3 est Ay = 107° degré,
a. Calculer la résolution (précision) requise sur la position de l’arbre moteur notée ‏موقط‎
‎en degré.
b. Calculer le nombre minimal de traits par tour N que doit posséder le capteur (résolution
du capteur). Le capteur retenu est-il convenable ?

Question 11 : La figure 13 donne le signal dans un sens de rotation. Donner le signal délivré par
le capteur dans le cas de la rotation dans le sens opposé.
Question 12 : La vitesse de rotation maximale de l’arceau 3 est ÿ = 30 °.s7* . Déterminer la

fréquence correspondante du signal carré de sortie du capteur notée fe-

Afin d’exploiter les informations émises par le capteur, une carte électronique permet de
compter ou décompter (en fonction du sens de rotation) les fronts montants et descendants des
voies À et B.

Nous allons nous intéresser à un compteur ,permettant de compter les fronts montants
de la voie À, réalisé par des bascules JK (voir figure 14) dont le signal de l’horloge est sur front
montant.

Bascule JK : principe de fonctionnement

Entrées Fonction
K CLK réalisée
Mise à 1

horloge Maintien

Mise à 0 Mise 8 0
Mise 1

Comumutation

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Question 13 : Compléter le chronogramme associé à une bascule JK sur le document réponse
(figure DR3).

Question 14 : Sur le document réponse (figure DR4) :
a. compléter le tableau de Karnaugh donnant Qn,1 (état de la bascule après le front

montant n de l’horloge) en fonction de Qn (état de la bascule avant le front montant n),
JetK.

b. Donner l’expression simplifiée de ©.

Question 15 : combien de bascules (nombres de bits) sont nécessaires pour compter de 0 à 1023

Question 16 : Sur le document réponse (figure DR5), compléter le logigramme (schéma) d’un
compteur asynchrone 3 bits à base des bascules JK.

4.1.2 CHOIX DU MOTEUR

CARACTERISTIQUES D’INERTIE DE L’ARCEAU 3

- Centre d’inertie :

Pour cette question, On assimile l’arceau 3 à
un demi cercle matériel de rayon R,
homogène et de section négligeable (voir
figure 15).

Soit G le centre d’inertie de l’arceau 3 tel

que :

06 = xa3X3 + VasYs + Zo3Z3
Question 17 : Déterminer, par une méthode de votre choix, les coordonnées du vecteur OG dans

la base (Ra, Ÿ3, Z3)-

- Moment d’inertie :

Soit un demi-cylindre creux S homogène, de masse m, dont la géométrie est décrite par
la figure 16.

Question 18 : Donner la matrice d’inertie I(O, S) dans la base liée au solide 8 en fonction de : m, R4, Ro

et h:

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La forme simplifiée de l’arceau 3 et décrite par la figure 17.
Question 19 : A partir du résultat de la question 18, exprimer, en fonction de p,r, R et H , le moment

d’inertie par rapport à l’axe ( O, #4) de l’arceau 3 noté I ‏و‎ (la figure 17 propose une décomposition de l’arceau

3 à suivre pour effectuer les calculs).

p : masse surfacique de l'arceau3

Epaisseur uniforme e
négligeable

Solide C3 Solide C2

Solide C1

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EQUATION DE MOUVEMENT DU MOTEUR (voir figures 10 et 11)

L’objectif de cette étude est de vérifier le dimensionnement du moteur choisi autour d’un
point de fonctionnement.

On notera @ mot (en rad. sT*), O mot (EN rad) la vitesse de rotation et la position angulaire
du rotor 4 par rapport au stator 2 du moteur.
Soit E l’ensemble matériel : E = { rotor du moteur, vis sans fin 4, roue 5 et l’ensemble
rigidement lié, la courroie crantée, galets presseurs 6 et 7, arceau 3 [٠
Hypothèses et données :

o Le frein à poudre n’est pas actif.

o  L’inertie de la courroie est négligeable.

o Les inerties des galets presseurs 6 et 7 sont négligeables.

Oo ‏من‎ )( : couple moteur instantané, qui s’exerce sur le rotor.

© foe le coefficent de frottement visqueux associé au mouvement de rotation du rotor

o C, (t) le couple résistant, dû au frottement sec, du moteur.

o Les autres liaisons sont parfaites.

o On rappelle que : a(t) = 0, 8)0 = 0.

Pour les applications numériques, on prend :

‎10-3N.m.s et |Cr|=1,55N.m‏ 2,47 = مم
‎o Ro = (0,X0,Ÿo. Zo, ) Le repère galiléen lié au bati 0. La pesanteur est telle que :‏
‎et g = 10ms?‏ 1-020
‎o Les caratctéristiques de l’arceau 3 à considérer sont :‏
‎ R, = (G,,X3,Ÿ3,23, ) le repère lié à l'arceau 3.‏ =
‎ Gz : le centre d'inertie de l'arceau 3 tel que‏ «
2312 + 100% — ,2 127— = ريمت + ولزيولر + ووو = و06
‎(les autres solies sont dynamiquement équilibrés)‏

‎= La masse de l’arceau 3 est m3=260 Kg
« Le mouvement de rotation de l’arceau 3 est défini par y = (ÿ,, ÿ3) = (22, 23)

‎A, 0 0 1660 0 0
= la matrcie d'inertie I(G3, 3) = ( 0 ‏و8‎ 0 ) = ( 0 190 0 ) en kg. m°
0 0 C/r 0 0 0

‎Question 20 :
a.  Exprimer l’énergie cinétique galiléenne de l’arceau 3.
b. Exprimer l’energie cinétique galiléenne du rotor.
c.  Exprimer l’energie cinétique galiléenne de la roue 5 et l’ensemble rigidement lié

‎d. Exprimer l’energie cinétique galiléenne de la vis sans fin 4.

‎CRE

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e. En déduire l’expression et la valeur numérique du moment d’inertie équivalent de

l’ensemble E ramené à l’axe de l’arbre moteur noté Je tel que

1
T(E/ro) = 2 JeWfnot
Pour la suite on prend : Je= 8,2.1 0 Kg.m”.

Question 21 : Donner l’expression des puissances extérieure et intérieure au système E.

Question 22 : Par application du théorème de l’énergie cinétique au système matériel E en phase
d’accélération, exprimer Cmot(t) en fonction de :

Omot @mot (t) Je cC, (t), fre, M3, 9, Ya3» Za3, H, k, et y(t)

Question 23 : En considérant que la valeur de Y(t5) = 18, 5° , Calculer la valeur de Cmot à

l’instant correspondant à la fin d’accélération de la phase b (ts) ٠

Question 24 : En déduire la valeur de la puissance du moteur nécessaire à cet instant. Conclure

sur choix du moteur retenu.

4.2 Evaluation des performances du système d’entrainement en

rotation de 3 par rapport à 2.

Pour mieux maitriser le positionnement du faisceau de rayons X par rapport au patient, le
contrôle du déplacement angulaire de l’arceau 3 est essentiel. L’asservissement de position de
l’arceau 3 fera l’objet de cette partie.

Le cahier des charges à respecter est :
- Erreur statique Esp due à une perturbation : nulle
- Erreur statique ‏ومع‎ vis-à-vis de l’entrée : nulle
- Erreur de trainage ‏رع‎ vis-à-vis de l’entrée : nulle
- Stabilité :
© marge de gain › 10db
o Marge de phase › 45°
La figure 18 présente la structure fonctionnelle de la chaine de commande de cet asservissement.

Couple résistant

Position angulaire
de consigne de
l'arceau 3

Adaptateur Comparateur Moteur à Réducteur roue Transmission par
de consigne + correcteur courant continu et vis sans fin courroie crantée

Tension Position angulaire Position angulaire Position angulaire
d'induit du rotor du roue 5 de l’arceau 3

Codeur
› 5 incrémental
Schéma fonctionnel
Figure 18

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Modélisation du moteur à courant continu
Notation :

i(t) : Le courant de l’induit (A) @mot(t) : La vitesse de rotation du moteur (rad.s”")

e(t) : La force contre électromotrice (V) Cmot(t): Le couple moteur (N.m)

u(t) : La tension aux bornes de l’induit (V) | c(t) : le couple résistant (N.m)

L : L’inductance de l’induit (H) R-1,44 © : La résistance de l’induit (Ohm)

K; : constante de couple K, : Constante de force contre électromotrice

L‘équation de mouvement retenue pour cette partie est :

Cmot(t) = JeWmot(t) + ve @mot © + 200 00
L’équation électrique du moteur est :

di(t)

Les équations du couplage mécanique-électrique sont :

Cmot(t) = K; i(t) 2

Les valeurs de ‏بكا‎ et Ke sont égales et on note pour la suite K;= Ke = K, = 100.

Pour la transformée de Laplace on retiendra les notations suivantes: | I(p), (P) , U(p),

Qmot(P), Cmot(P), C(P) Pour les transformées de Laplace de, respectivement, des fonctions

Question 25 :

a. Déterminer les fonctions de transferts associées au schéma bloc suivant (schéma bloc à

reproduire et à compléter sur votre copie).

| Cr(p) Omot(P)

En radi
U(p) CF) Cmot(P) ® Qmot(P) Pace

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Pour la suite des questions l’inductance L sera négligée.

b. À partir du schéma bloc de la question 25-a, déterminer, sous la forme canonique, les
fonctions de transferts vis-à-vis de l’entrée U(p) notée H, (p) et vis-à-vis de la perturbation

Cr(p) notée H, (p) telles que :

Asservissement du mouvement de l’arceau 3

Tenant compte du modèle retenu pour le moteur à courant continu, on obtient le schéma bloc suivant :

Yc(p) [Degré]

y(p) [Degré]

Omot(P)

Adaptateur Correcteur

Réducteur
roue et vis

sans fin
Capteur

Transmission
par courroie
crantée

Figure 19
Question 26 :

a. Donner les fonctions de transferts Gg(p) et G4(p).

b. Proposer une fonction de transfert de l’adaptateur G1(p) : justifier votre réponse.

1+TuP

On considère que C(P)=1. H,(p) = 7 , H,(®) =

avec Ku=10” rad.s*.v” K,=10*rad.s*/Nm ‏حلصا :امتح‎
Question 27 : On suppose pour cette question que Cr=o :

Ur(p)

a.  Exprimer et donner sous la forme canonique la FTBO notée T(p)-

b. Le système est-il stable.
Question 28 :

a- Calculer l’erreur statique ‏مع‎ vis-à-vis d’une entrée échelon unitaire. Conclure.

b- Calculer l’erreur statique Esp vis-à-vis d’une perturbation échelon unitaire. Conclure.

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Question 29 :

a. Calculer l’erreur de trainage Ep due à une entrée rampe Y,(t) = y,-t.u(t).
Conclure.

b. Un correcteur intégrateur pur C(p) = permet-il de satisfaire le cahier des charges en
terme de précision vis-à-vis de l’entrée ? justifier.

c. Dans ce cas, donner l’erreur statique esp Vis-à-vis d’une perturbation échelon unitaire.
Conclure.

d. Que devient la stabilité du système 7 ( illustrer votre réponse en se basant sur le tracé
asymptotique du diagramme de bode de la FTBO corrigée).

Considérons pour la suite le correcteur sous la forme suivante :

Question 30 :

1+aTp

€ aveca ‹1
1+Tp

a. Tracer le diagramme de bode de C;(p) pour Ke=1 : faire apparaître clairement les
asymptotes et les valeurs particulières.

b. Compléter le tableau suivant( à reprendre sur votre copie) et préciser l’action de ce
correcteur sur la stabilté et sur la précision (utiliser les mots : améliore, diminue OU n’affecte

pas ).

Stabilité Précision

1+aT

Le document réponse (figure DR6) présente le diagramme de Black de la FTBO corrigée

(C,(p) = ‏شلش ما‎ avec Ke=1, a=8 et 1 ›T›Tu ),Cr=0.

Question 31 :
a- Relever sur le diagramme de Black (document réponse figure DR6) la valeur de la marge
de gain MG et celle de la marge de phase Mœ.
b- Déterminer la valeur de Kc permettant de respecter le cahier des charges en terme de

stabilté (document réponse figure DR6).

Fin ‏ل ول‎ Eprouve

ااا ااا سوه

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