نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2014: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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Ministère de l’Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun
Ecole Mohammadia d'Ingénieurs

CONCOURS NATIONAL COMMUN
d'Admission dans les Etablissements de Formation

d'Ingénieurs et Établissements Assimilés

Session 2014

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Filière MP

Durée : 4 heures

Cette épreuve comporte 8 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les | références| des questions
abordées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

Si un résultat donné par l’énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont
relativement indépendantes entre elles.

Spectromètre à fibre optique

Le spectromètre numérique à fibre optique est un outil courant en énergétique
pour analyser la lumière émise par un corps ou transmise à travers un milieu afin de
déterminer certaines caractéristiques (température, composition, etc) du corps ou du
milieu. Il est basé principalement sur les propriétés d’un système dispersif, le réseau
plan. La lumière à analyser est transmise au spectromètre par l'intermédiaire d’une
fibre optique. Un premier miroir sphérique concave (dit de collimation) permet de
collimater le faisceau issu de la fente d’entrée et de le diriger avec le bon angle sur le
réseau. La lumière diffractée par ce réseau est ensuite focalisée par un second miroir
sphérique (dit de focalisation) vers une barrette CCD, sur laquelle se forme le spectre.
La barrette CCD fournit un signal électrique reproduisant l’intensité lumineuse perçue
par ses différents pixels. Ce signal analogique est ensuite converti en signal numérique.
Les données sont alors traitées par un logiciel pour afficher la courbe d’intensité
spectrale I(A).

Dans ce problème, nous étudierons les différentes composantes du spectromètre
numérique à fibre optique. Les différentes parties de ce problème sont largement
indépendantes.

1. Miroir sphérique

On considère un miroir sphérique concave (M) de focale 100 mm, de centre C,
de sommet S et d’axe optique (Cz). On rappelle que, dans les conditions de
GAUSS, la position d’un point objet À sur l'axe et celle de son image A’ sont

reliées par la relation —

541 94 0

1.1. Où se trouvent les foyers objet F et image 1 principaux du miroir ?

Donner l’expression de la distance focale du miroir définie par f; = SF".
En déduire la valeur numérique du rayon R du miroir.

1.2. Que se passe-t-il pour un rayon incident passant par C ?

1.3. On considère un petit objet AB dans un plan perpendiculaire à l’axe op-
tique. Le point A est sur l’axe optique à la distance SA (SA › 2R) du
sommet du miroir et le point B au-dessus de l’axe. Construire soigneuse-
ment l’image A’B’ de AB par le miroir (M).

Épreuve de Physique II 1/8

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1.4. Définir le grandissement transversal et l’exprimer en fonction de S'A et de

1.5. L'objet AB, toujours perpendiculaire à l’axe optique, est tel que À = 71.
Faire la construction soignée et détaillée donnant son image par le miroir.

1.6. Faire une construction soignée et détaillée donnant l’image A’ B’ d’un objet
AB situé à l'infini, perpendiculaire à l’axe optique, vu sous un angle ‏نه‎ et
tel que À se trouve sur l’axe optique. Déterminer la nature et la taille de
l’image.

2. Réflexion totale

On considère un rayon lumineux issu |

d’une radiation monochromatique et »
arrivant sur l'interface plane séparant ON à

deux milieux d’indices de réfraction

différents (notés ny et na avec n1 › n9) M

sous un angle d'incidence à, par rap-
port à la normale à l’interface (figure

interface

1). Figure 1

2.1. Énoncer les lois de SNELL-DESCARTES de la réfraction lumineuse.

2.2. Au moyen de figures claires, exposer les différentes situations que l’on peut
observer lors de la réfraction d’un rayon lumineux traversant l'interface
plane. Préciser selon les cas les conditions d’existence du rayon réfracté.
Montrer que si à, › ‏بو‎ le rayon incident est entièrement réfléchi. Donner
l’expression de sin(io) et calculer, en degré, la valeur numérique de ‏.و‎ On
donne n, = 1, 450 et na = 1, 433.

3. Fibre optique

La fibre optique à saut d’indice
(figure 2) est formée d’un cœur
cylindrique en plastique d'axe
Oz, transparent, homogène et iso-
trope, de rayon a = 31,25 jm
et d’indice de réfraction constant
ne = 1,450, entouré d’une gaine
d’indice de réfraction constant

La face d’entrée de la fibre optique est plane, perpendiculaire à son axe de
symétrie Oz et se trouve dans l’air d’indice de réfraction na = 1,000. Un rayon
lumineux émis par une source monochromatique atteint la face d’entrée de la
fibre en O, sous l’angle d’incidence 0. Les propriétés d’une fibre cylindrique à
saut d'indice peuvent être analysées en bonne approximation en se limitant aux
directions de propagation qui se trouvent dans un plan de symétrie de la fibre.

Figure 2

Épreuve de Physique II 2/8

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3.1. Justifier que le rayon lumineux transmis dans la fibre optique reste dans
le même plan défini par le rayon entrant dans la fibre et l’axe Oz.

3.2. Pour qu’un rayon soit guidé dans la fibre optique, il faut que sa direction
à l’entrée se situe dans un cône dit d’acceptance de demi angle au sommet
69. Montrer que si 0 reste inférieur à un angle ‏.و0‎ un rayon peut être
effectivement guidé dans le cœur de la fibre.

3.3. Exprimer littéralement et numériquement l'ouverture numérique ON de
la fibre, définie par n,. sin(0g).

3.4. Quel est le devenir d’un rayon lumineux hors du cône d’acceptance ?

3.5. Faire un dessin du trajet ultérieur du rayon lumineux atteignant la face
d’entrée de la fibre optique en 0, sous l’angle d’incidence 0 › 00 en faisant
apparaître plusieurs réflexions.

3.6. On considère maintenant un rayon lumineux en dehors du cône d’accep-
tance de la fibre optique. Comme il frappe l'interface cœur/gaine à un
angle inférieur à l’angle critique de réflexion sur cette interface, il peut pé-
nétrer dans la gaine. À quelle condition peut-il se propager par réflexions
totales à la surface extérieure de la gaine ?

3.7. Cette propagation donne naissance à un mode de propagation parasite,
appelé mode de gaine. Ces modes sont généralement rapidement atténués,
mais ils peuvent néanmoins être à l’origine de perturbations sur la fibre
optique. Montrer, schéma à l’appui, que l’on peut les éliminer immédiate-
ment, en entourant la gaine d’une enveloppe dont l'indice est supérieur à
celui de la gaine.

3.8. La gaine est légèrement absorbante. La puissance absorbée par une tranche
de longueur dz de la fibre est proportionnelle à l’épaisseur dz de cette
tranche et à la puissance P(z) du faisceau à l’entrée de celle-ci. On définit

le coefficient d’atténuation de la fibre optique par 4 = T -Le( LE ), Le
désigne le logarithme décimal. Le constructeur de la fibre indique pour

celle-ci un coefficient d'atténuation 8 = 0, 4 412.101 1

Montrer que le produit 10.Lg( 7
2

) est proportionnel à z, distance par-

courue par le faisceau dans le cœur de la fibre. Calculer la puissance du
faisceau lumineux après un parcours de 1m puis 1 km à l’intérieur de la
fibre ? La puissance injectée à l’entrée de la fibre est P(O) = 1yW et on
néglige les pertes à l’entrée et à la sortie de la fibre. Conclure sachant que
la longueur de la fibre utilisée pour un spectromètre à fibre optique est de
l’ordre du mètre.

3.9. L'utilisation pratique de la fibre peut lui imposer de prendre des courbures.
La fibre cesse alors d’être rectiligne et le guidage des rayons peut être
confronté à un problème. On souhaite déterminer un ordre de grandeur de
la courbure acceptable par une fibre à saut d’indice. On envisage alors un
rayon lumineux confondu avec l’axe du cœur de la fibre optique dans la
partie rectiligne de la fibre (figure 3).

Épreuve de Physique II 3/8

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On note R. le rayon de
courbure de la fibre dans
sa partie supposée circu-
laire de centre C.
Calculer l’angle ‏ثم‎ que fait
le rayon avec la normale
lorsqu’il rencontre l’inter-
face gaine/cœur.
Déterminer la valeur ‏نا‎
‎mite Rem de R pour que
le rayon envisagé reste ef-
fectivement guidé.
Exprimer Rem en fonction du rayon du cœur ae, ne et ‏ود‎ et calculer sa
valeur numérique.

Figure 3

4. Etude d’un réseau par réflexion

On distingue les réseaux par transmission, pour lesquels les ouvertures sont des
fentes transparentes, et les réseaux par réflexion pour lesquels les fentes sont
remplacées par des miroirs.

Un réseau (R) plan par réflexion de largeur utile 1 est constitué de N traits
(bandes) réfléchissants de faible largeur par rapport à leur dimension perpen-
diculaire au plan de la figure (figure 4). Les traits parallèles sont équidistants
de a (pas du réseau). Le réseau comporte n = 600 traits.mm”* et plonge dans
l’air dont l’indice sera pris égal à na = 1,000.

La fente d’entrée du spectromètre, supposée infiniment fine et parallèle aux

traits du réseau, est éclairée sous incidence nulle par la lumière transmise par
la fibre optique.

4.1. Quel est le rôle d’un réseau de diffraction ?
4.2. Quelle relation y a-t-il entre a et n ?

4.3. Les rayons issus de la fente d'entrée du spectromètre sont parallèles après
réflexion sur le miroir de collimation. À quelle condition cela est-il réalisé ?

On note  l’angle d'incidence des rayons
lumineux sur le réseau, y’ leur angle de
réflexion. Les angles sont orientés de la
normale au réseau vers le rayon (figure 4).

4.4. Déterminer, schéma à l’appui, la diffé-
rence de marche 6 entre les rayons diffrac-
tés par deux traits consécutifs du réseau
en fonction de ‏ام ,م‎ et a.

Figure 4
4.5. Pour quelles valeurs de à l’interférence des rayons diffractés est construc-
tive ? En déduire que les angles ‏ري‎ d'ordre ‏م‎ dans lesquels on observe des

Épreuve de Physique II 4/8

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maxima de lumière pour une longueur d’onde À donnée sont donnés par
la relation : sin(p;) + sin() = np\. Commenter la direction de l’ordre 0.

4.6. La fibre optique est maintenant éclairée par une source de lumière blanche
de longueurs d’onde extrêmes ‏ود‎ = 400nm et Ar = 8001171. Quels sont
les angles ‏ورم‎ et ›, de diffraction d’ordre ‏م‎ = 1 des deux longueurs d'onde
extrêmes du visible ? On suppose que le réseau est éclairé sous incidence
normale.

4.7. La partie interne du spectromètre est décrite dans la figure 5 pour un rayon
lumineux sous incidence quelconque.

On note (Mc) et (My) les miroirs respectivement de collimation et de
focalisation. (Fe) est la fente d’entrée du spectromètre.

Capteur CCD 70

Figure 5

4.7.1. Dire, en justifiant où doit-on placer le capteur CCD pour enregistrer
le spectre de la lumière analysée.

4.7.2. Représenter alors sur un schéma les marches respectives des rayons
rouge et bleu depuis la fente d’entrée jusqu’au capteur CCD.

4.7.3. Citez au moins 3 avantages du spectromètre à fibre optique et capteur
CCD par rapport au montage qu’on utilise habituellement et utilisant
un goniomètre pour visualiser des spectres en TP.

5. Capteur CCD
5.1. Principe d’un capteur CCD

Le capteur CCD (Charge Coupled Device), interfacé à un ordinateur, ré-
ceptionne les différents faisceaux diffractés et fournit un signal électrique
reproduisant l'intensité lumineuse perçue par ses pixels répartis sur une
longueur L. Il est modélisé par un ensemble de photodiodes reliées à des
capacités, puis à un registre à décalage par l’intemédiaire d’interrupteurs.
On étudie dans cette partie la conversion du signal lumineux en signal

électrique grâce à une photodiode. La figure 6-1 présente une modélisa-
tion simple de la caractéristique à = i(u) d’une photodiode idéale pour la

Épreuve de Physique II 5/8

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convention de la figure 6-2. Afin d'utiliser la photodiode en capteur, on
la polarise en inverse (à › 0 et u › 0) en l’insérant dans un montage
comprenant un générateur de f.é.m ‏ونا‎ et une résistance de protection r
comme représenté sur la figure 7. Le courant inverse est proportionnel au
flux lumineux surfacique &, qui irradie la photodiode : I; = ‏.و70‎ où k est
la sensibilité de la diode. On suppose que cette sensibilité est indépendante
de la fréquence de variation de ‏,ين‎ dans le domaine habituel de variation.

flux lumineux

U, Figure 7

Figure 6-2

5.1.1. Montrer que la photodiode ne peut être bien polarisée en inverse que si
la résistance r est inférieure à une valeur limite rg. Exprimer littérale-
ment et numériquement ‏و7‎ pour un éclairement ‏ين‎ = 0,20 mW.em”?.
On donne k = 50 JA.mW!.em? et Up = 5,017

Dans la suite, on suppose la condition r › ro vérifiée.
La photodiode polarisée en inverse se comporte comme un générateur
idéal de courant I; = ‏و70‎ en parallèle avec une capacité C4.

5.1.2. La photodiode est éclairée par
des signaux lumineux variables. Le
schéma équivalent de la photo-
diode et de son conditionnement V.
est présenté sur la figure 8.
Déterminer la réponse harmonique

r Ca — Î I,

du système définie par H = 5 ;
Définir le gain statique de ce dis-
positif. Figure 8

5.1.3. Exprimer littéralement la fréquence de coupure du système. Calculer
sa valeur numérique pour r = 1 k et C, = 107

5.1.4. À quelle fréquence maximale peut-on utiliser ce dispositif pour une
perte de moins de 1% par rapport au gain statique ?

Épreuve de Physique II 6/8

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5.2. Caractéristiques de la barrette CCD

La barrette CCD linéaire du spectromètre à fibre optique étudié est consti-
tuée de N, = 2048 pirels répartis sur une longueur L = 28,7 mm. Sa
gamme spectrale est 200 — 900 nm. On suppose que seul le spectre d’ordre
1 est projeté sur la barrette CCD.

1. Calculer la taille t(P) d’un pixel.

.2. Quel(s) type(s) de radiation(s) couvre la gamme spectrale du spectro-

mètre étudié ?

5.2.3. On définit la résolution AA(P) d’un pixel en longueur d’onde par l’in-
tervalle de longueur d’onde que couvre un pixel. Déterminer AA(P) en
supposant que l'intervalle de longueur d’onde sur la gamme spectrale
AA obtenue sur le capteur occupe N, = 2048 pixels.

5.2.4. On définit arbitrairement la résolution ‏مي‎ du spectromètre à fibre
optique comme l'intervalle de longueur d’onde séparant 3 pixels, ‏حلم‎
‎culer la valeur de ‏نيع‎

. La barrette CCD est installée de telle façon que le premier pixel (n°1)
reçoit la vibration de longueur d’onde A; = 200 nm et le dernier pixel
(n°2048) reçoit la vibration de longueur d’onde À, = 900 nm. Établir
la relation entre la longueur d’onde À et le n° de pixel x.

5.2.6. Citer deux facteurs qui pourraient limiter le pouvoir de résolution du

spectromètre à fibre optique.

6. Spectre du blanc d’ordre supérieur

On considère un interféromètre de MICHELSON idéal constitué d’un miroir plan
fixe (My), d’un miroir plan mobile (M3) réglable en translation et en inclinaison
et d’une lame séparatrice (S5,) semi-réfléchissante, non absorbante, d'épaisseur
nulle, de facteurs de transmission et de réflexion égaux à 0,5 et n’introduisant
aucun déphasage. Cette lame fixe est inclinée à 45° par rapport aux normales

L'interféromètre de MICHELSON est plongé dans l’air d'indice de réfraction égal
à 1 et est réglé dans la configuration « contact optique ». On incline le miroir
mobile (M2) d’un petit angle ‏مه‎ et on éclaire l’interféromètre en lumière quasi-
parallèle à l’aide d’une source étendue (S').

Les franges d’interférence ainsi obtenues sont supposées localisées sur le miroir
fixe (M,). On les projette sur un écran (F) à l’aide d’une lentille convergente
(L) de distance focale image f; = 20 cm placée à la distance d = 2/3 du miroir
On rappelle l'expression de l'intensité lumineuse en un point P du plan de
localisation en fonction de la différence de matche 6(P) en ce point :

I(P) = 21(1+cos(2x——)), À étant la longueur d’onde de la lumière éclairant

l’interféromètre de MICHELSON et 70 une constante.

Épreuve de Physique II 7/8

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6.1. Faire un schéma du dispositif théorique. On y fera indiquer le coin d'air et
on précisera les deux rayons qui interfèrent.

6.2. On note x la distance d’un point P sur (My) à l’arête commune des miroirs
(My) et (M5), image de (M3) à travers la séparatrice (S,).

Exprimer la différence de marche 6(P) en fonction de x. Les interférences
observées sont-elles des franges d’égale inclinaison ou d’égale épaisseur ?
Justifier votre réponse et déterminer l’expression de l’interfrange Zecran SUY
l’écran (FE).

6.3. Afin de mesurer l’angle ‏ممه‎ on éclaire l'interféromètre ‏عل‎ MICHELSON réglé
en coin d’air par une source monochromatique de longueur d'onde dans le
vide ‏ول‎ = 589,3nm. La mesure de l’interfrange sur l’écran donne técran =
5mm. Calculer l’angle ‏مه‎ du coin d'air.

6.4. Le réglage précédent étant conservé, on éclaire maintenant l’interféromètre
de MICHELSON par une source de lumière blanche. On centre la frange
d’ordre 0 dite frange centrale.

6.4.1. Décrire en le justifiant l’aspect des franges que l’on voit sur l’écran
(FE). Justifier pourquoi on n’observe que quelques franges.

6.4.2. Comment repère-t-on la frange d’ordre 0 ? Est-elle blanche ou noire ?
Si elle est noire, expliquer pourquoi.

6.4.3. Loin de la frange d’ordre 0, les franges du coin d’air en lumière blanche
disparaissent et l’on observe du « blanc d’odre supérieur ». Justifier
cette appellation. Comment distingue-t-on sur le plan spectral entre
le blanc d’ordre supérieur et le blanc uniforme d’ordre 0 correspondant
au contact optique (teinte plate) ?

6.5. On place, au point 7 du plan de l’écran (ce dernier retiré), la fente du
spectrophotomètre à fibre optique parallèlement aux franges. On observe
des cannelures (absence de lumière). Expliquer ce que cela. veut dire. Quelle
relation existe-t-il entre la différence de marche ‏ة‎ et la longueur d’onde
d’une radiation visible absente du spectre ?

6.6. Le spectromètre étant étalonné comme indiqué dans la question 5.2.5, on
observe des cannelures correspondant aux pixels x, = 1293, x, = 1109,
‏ونه‎ = 1012 et ‏حي‎ 691. Calculer les longueurs d’ondes correspondantes.

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Physique II 8/8

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