نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2013: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation National, de l'Enseignement Supérieur,
de la Recherche Scientifique et de la Formation des Cadres

Présidence du Concours National Commun
Ecole Hassania des Travaux Publics

CONCOURS NATIONAL COMMUN
d'admission aux Etablissements de Formation d'Ingénieurs et

Établissements Assimilés
Session 2013

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Filière MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 7 pages au format A4, en plus de cette page de garde

L'usage de la calculatrice est autorisé

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e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les des questions abor-
dées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,
11 le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons
des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

Si un résultat donné par l’énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis
pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement
indépendantes entre elles.

Four à induction

Données :

e Perméabilité magnétique du vide : po = 4.107" S.I.;

e Vitesse de la lumière dans le vide : ‏جع‎ 3.108 m.s7* ;

e Loi d’Ohm locale 7 = yF.

Le chauffage par induction électromagnétique est couramment utilisé en industrie : fusion
d’un métal, vitrification des déchets nucléaires par induction directe en creuset froid. Dans
cette technique, un inducteur crée un champ magnétique variable qui induit des courants
de Foucault directement dans le matériau conducteur. L'effet Joule de ces courants chauffe
et fait fondre le conducteur.

Dans ce problème, on s'intéresse à la production d’un champ magnétique variable par
un inducteur, au four à induction utilisé pour faire fondre un métal et à l’alimentation de
l’inducteur.

Les différentes parties sont largement indépendantes.

Pour tout le problème, on se placera en coordonnées cylindriques (r, 0, 7) auxquelles on
associe la base locale (;., Up, 11

I. Champ magnétique créé par une spire en un point de son axe

On considère une spire circulaire (S) de centre 0, de rayon a, contenu dans le plan Oxy,
orthogonal à l’axe Oz. Cette spire est parcourue par un courant électrique d'intensité /
constante. Elle est située dans l'air assimilable magnétiquement à du vide. Elle est orientée
dans le sens trigonométrique comme le montre la figure la. On considère un point M, de
cote z, situé sur l’axe Oz.

1. Par des arguments de symétrie très précis, déterminer la direction du champ magné-
tique B(M) créé par la spire au point M.

2. En désignant 6 l’angle sous lequel on voit la spire à partir du point M de son axe,
montrer que le module de B(M) s'exprime comme B(M) = ‏لب‎ sin›(0) j

3. Écrire l’expression de B(M) en fonction de B(O) et u = ‏ب‎

4. Tracer le graphe représentant les variations du champ B(M) en fonction de u.

Épreuve de Physique II 1/7

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Les deux cercles hachurés représentent les sections
droites de la spirc dans le plan contenant l’axe Oz.

Figure la Figure 1b

5. Le relevé des lignes de champ magnétique dans un plan qui contient l’axe Oz est
représenté sur la figure 1b. Justifier l’allure des courbes observées. Reproduire la figure
lb sur votre copie en y indiquant le sens du courant / et l’orientation du champ
magnétique sur chaque ligne de champ.

6. Qu’obtiendrait-on comme allure de lignes de champ à grande distance de la spire ?

IT. Champ magnétique d’une bobine cylindrique de longueur finie

On considère maintenant une
bobine cylindrique consistant en
un enroulement de N spires ré-
gulièrement espacées de rayon a
d'épaisseur négligeable parcou-
rues par un courant électrique
d'intensité / constante et répar-
ties sur une longueur H comme
l’indique la figure 2.

La bobine est située dans l'air assimilable magnétiquement à du vide. Un point M de
l’axe Oz de la bobine est repéré grâce à la coordonnée z prise par rapport à l’origine O,
point milieu de la bobine.

Figure 2

7. On considère une spire élémentaire d’épaisseur ‏,عاك‎ centré en 07 de coordonnée z’. En
utilisant les résultats de la partie I, exprimer le champ magnétique élémentaire dB(M)
engendré par cette spire élémentaire au point M de l’axe de la bobine.

8. Déterminer le champ magnétique total B(M) engendré en M, correspondant à l’en-
semble des contributions de la bobine cylindrique. On exprimera le module B(M) en
fonction des angles 0, et 09 sous lesquels les deux extrémités de la bobine sont vues
du point M.

9. Que devient l'expression de B(M) lorsque la bobine est supposée de longueur infinie

Épreuve de Physique II 2/7

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10. Quel doit être le rapport # pour que le champ magnétique au centre de la bobine soit
celui d’une bobine infinie avec une précision de 1075 au moins ?

11. Représenter schématiquement les lignes de champ magnétique de la bobine finie. Quel
procédé expérimental permet de visualiser le spectre magnétique de la bobine parcou-
rue par le courant [ ?

111. Champ magnétique d’une bobine cylindrique de longueur infinie

Les dimensions de la bobine cylindrique décrite dans la deuxième partie sont telles que
l’on pourra utiliser l’approximation de la bobine infinie (H ›› a).

On se propose de calculer le champ magnétique en tout point M de l’espace repéré par
ses coordonnées cylindriques (r, 0, z).

12. Sous l’hypothèse de la bobine cylindrique infinie, déterminer, par des arguments de
symétrie et d’invariance, la direction du champ magnétique B(M) et les variables dont
dépend son module B(M) en un point M de l’espace.

13. En mettant en œuvre le théorème d'Ampère sur un contour judicieusement choisi,
montrer que le champ magnétique B; (M) à l’intérieur de la bobine infinie est uni-
forme et donner son expression.

14. Déterminer de même le champ magnétique Bex:(M) à l’extérieur de la bobine infinie.
15. Représenter schématiquement les lignes de champ magnétique de la bobine infinie.

16. Donner la définition du coefficient d’inductance propre L de la bobine. Etablir son
expression en fonction de N, H, a et ‏.مر‎ Commenter.

17. On assimile la bobine étudiée à une nappe de courant surfacique orthoradial d'intensité
uniforme ‏.ور‎ Exprimer le vecteur densité surfacique js en fonction de /, N, et H dans
la base des coordonnées cylindriques (4, Va, ‏ون‎

TV. Champ magnétique d’une bobine infinie parcourue par un courant variable

La bobine infinie décrite dans la partie 111 est parcourue maintenant par un courant
électrique d’intensité #(t) variable dépendant du temps 1. On note Ba(t) le champ magnétique
créé par le courant :(t) et on le suppose uniforme.

18. Enoncer la loi de Faraday (concernant une £é.m induite dans un circuit matériel) et
citer deux causes différentes de la variation du flux magnétique.

19. Justifier le fait que le courant électrique :(t) est source d’un champ électrique 2 que
l’on cherche à déterminer. Montrer, par des arguments à expliciter clairement, que le
champ Ë; est orthoradial et que son module ne dépend que de la distance 7 du point
considéré à l’axe Oz.

20. En mettant en œuvre la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Faraday sur un
contour judicieusement choisi, établir l'expression du champ électrique induit E; en
tout point de l’espace. Commenter le sens de Ë; ainsi que l'influence de r et de la
fréquence de Ba(t).

Épreuve de Physique II 3/7

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V. Application : four à induction

Les fours à induction à creuset se composent essentiellement d’une bobine inductrice
entourant un creuset dans lequel se trouve la masse métallique à fondre (figure 3).

La bobine cylindrique est formé de N spires circulaires régulière-
ment espacées, de rayon a, réparties sur une couche de hauteur H.
Elle est parcourue par un courant électrique sinusoïdal d'intensité
i(t) = ‏و7‎ cos(wt), de fréquence f = ‏حي‎ = 1kHz. La longueur H
de la bobine est suffisamment grande devant son rayon a pour être
considérée comme infinie.

Le creuset est assimilé à un cylindre transparent au champ élec-
tromagnétique. On dispose dans le creuset un barreau cylindrique
métallique non magnétique d'axe Oz.

Afin de simplifier, on suppose que la bobine est complètement
remplie par le cylindre conducteur (même rayon a et même hauteur
H ›› a). Ce conducteur a les mêmes constantes ‏مير‎ et € que le
vide et est supposé ohmique. Sa conductivité y, supposée constante
et uniforme, a la même valeur en régime alternatif qu’en régime
permanent.

L’axe du barreau métallique est confondu avec celui de la bobine.

Figure 3

21. Montrer que pour la fréquence f = 17772, l’équation de Maxwell-Ampère peut être
simplifiée. Donner le nom de l’approximation ainsi faite. On donne la conductivité
électrique du cuivre y = 6.107 S.I.

22. On se place dans le cadre de cette approximation et on néglige dans un premier temps,
le champ magnétique créé par les courants induits dans le cylindre conducteur.

22.1. Montrer que le champ magnétique uniforme Ba est donné par Ba (t) = Bocos(wt)d:.
Donner l'expression de Bo.

22.2. Montrer que le champ électrique Æ; induit à l’intérieur du solénoïde s’écrit sous
la forme F; = jwBosin(wt)ri.

22.3. On constate que le barreau conducteur est parcouru par un courant volumique
(dit courant de Foucault) de densité volumique 0 Expliquer clairement l’origine
de ce courant. Quelle est la conséquence de l’existence de ce courant pour le
barreau conducteur ?

22.4. Donner l’expression de la densité volumique ‏زر‎ des courants induits en tout point
du conducteur. Quelle est son unité ?

22.5. Écrire l’expression de la puissance volumique dissipée par effet Joule en tout
point du matériau conducteur par les courants induits. Établir l’expression de sa
valeur moyenne temporelle › ‏رم‎ ›. Commenter l’inhomogénéité de la puissance

22.6. En déduire la puissance moyenne totale › P; › dissipée par effet Joule dans
le conducteur. Commenter l’influence de la conductivité du conducteur, de son
caractère massif et de la fréquence du courant #(#). Montrer que le modèle explique

Épreuve de Physique II 4/7

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pourquoi dans le chauffage par induction, on choisit une fréquence de 1 kHz plutôt
que le 50 Hz directement accessible.

22.7. Expliquer l’intérêt pratique du dispositif étudié.

22.8. Montrer qu’on diminue la puissance moyenne totale › P; › en divisant le conduc-
teur en feuilles cylindriques ou en fibres de rayon b = £ séparées par un isolant.
Montrer que dans le deuxième cas, les pertes moyennes par unité de volume sont
divisées par n° ?

23. Les courants calculés dans la question 22.4 créent à leur tour un champ magnétique
B;. On désire vérifier l’hypothèse |B;| ‹‹ |Ba|. On se place toujours dans le cadre de
l’approximation de la question 21.

23.1. Justifier que B; = B;(r, (7

23.2. En utilisant la forme locale de l’équation de Maxwell- -Ampère, calculer le champ
magnétique B,. Montrer que l’hypothèse B: |. ‹‹ Ba | est vérifiée si a ‹‹ au.
Donner l’expression de a; et calculer sa valeur numérique dans le cas du cuivre.
Commenter le résultat obtenu.

23.3. Dans un four à induction habituel, le rayon a du cylindre est de l’ordre de 10 cm.
L'hypothèse |B;| ‹‹ |Ba| est-elle vérifiée ?

23.4. On suppose que l’hypothèse | B; | ››١ Ba | n’est pas valable et on étudie le champ
magnétique total dans le barreau conducteur. On note B= B(r,t)a; le champ
magnétique total. » ‏بين‎ qe) = champ magnétique B = B(r, t) vérifie l’équation
différentielle - 10B +2 SE = = Joy 2. À quel type de solution faut-il s'attendre dans

le cas d’une dépendance temporelle harmonique ?

23.5. Que se passe-t-il si l’on travaille à fréquence élevée ?

VI. Détermination expérimentale de l’inductance et de la résistance de la bobine
d’un four à induction

L'inducteur, associé au four à induction étudié dans la partie V, se comporte par rapport
à son alimentation et dans les conditions optimales de fonctionnement, comme une charge
inductive constituée d’une inductance pure L en série avec une résistance Rz.

L'objectif de cette partie est de déterminer les valeurs des grandeurs caractéristiques de
la bobine (résistance Rz et inductance L) du four étudié par une méthode expérimentale.
Pour cela, on réalise un circuit RLC en associant en série :

— un générateur basse fréquence (GBF), supposé idéal, délivrant une tension sinusoïdale
de valeur efficace U maintenue constante et de fréquence f réglable ;

— un conducteur ohmique, dit de mesure, de résistance R, :
- la bobine de résistance R, et d’inductance L;

— un condensateur de capacité C.

Épreuve de Physique II 5/7

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Un oscilloscope permet d’observer en voie CHI la tension aux bornes du générateur et
en voie 0112 la tension aux bornes du conducteur de résistance R, de valeur efficace ‏!نا‎

24. Représenter le schéma du circuit et indiquer les branchements de l’oscilloscope.

25. Indiquer, en le justifiant, sur quel mode de fonctionnement (AC ou DC), l’oscilloscope
doit être utilisé pour mesurer les grandeurs efficaces.

26. Proposer une méthode permettant rapidement de déterminer la fréquence de résonance
à l’aide de l’oscilloscope.

27. Etablir l’expression de l'intensité efficace / du courant dans le circuit. En déduire
l’expression de la fréquence fp et celle du courant efficace 70 à la résonance du courant.

. Pa . PA 7 = 4
28. On détermine expérimentalement la fréquence f et le rapport = à la résonance. En
déduire l’expression donnant l’inductance L et celle donnant la résistance R, de la
bobine.

29. Le GBF n’est pas idéal et possède une résistance interne R,. L’amplitude de la tension
qu’il délivre ne reste pas constante lorsque la fréquence f varie. Expliquer pourquoi et
proposer un montage qui permet de remédier à cette situation.

VII. Étude de l’alimentation du four à induction

Dans cette partie, on assimile l’inducteur associé à un four à induction à une charge induc-
tive constituée d’une inductance pure L = 70 uH en série avec une résistance R, = 20 m2.
Cette charge inductive est mise en série avec un condensateur de capacité C = O,5mF
(figure 4a). La charge totale constituée de l’inductance, de la résistance et du condensa-
teur est alors alimentée par une tension u(t) alternative "créneau" (figure 4b), d’amplitude
Un = 200V et de fréquence fixée à f = 1kHz, fournie par un onduleur autonome non
représenté sur la figure. La tension u(t) a pour développement en série de Fourier :

5

7

Figure 4a Figure 4b

30. Quel est le rôle du condensateur ajouté en série avec l’inducteur ?

Épreuve de Physique II 6/7

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31. Justifier qualitativement le développement en série de Fourier de la tension u(t). Re-
présenter le spectre de u(t).

32. Calculer les valeurs efficaces U, et Us des tensions sinusoïdales u1(t) et us(t) relatives
aux harmoniques 1 et 3.

33. Calculer les impédances Z, et Z3 de la charge totale relatives aux harmoniques 1 et 3.

34. Calculer le rapport 11,3 = a , où ‏د‎ et ‏و7‎ sont les valeurs efficaces des intensités des

courants correspondants aux harmoniques 1 et 3. Montrer que l’on peut considérer
que le courant :(t) dans le circuit est pratiquement sinusoïdal et s’écrit sous la forme :
i(t) = Iosin(wt + p). Exprimer 710 et ÿ.

35. Calculer la puissance active P consommée par le four.

FIN DE L’ÉPREUVE

Épreuve de Physique II 77/7

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