نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2011: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l’Éducation Nationale de l’Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun
Institut National des Postes et Télécommunications

MPT À

CONCOURS NATIONAL COMMUN
d’Admission dans les Etablissements de Formation

d’Ingénieurs et Établissements Assimilés

Session 2011

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II
Filière : MP

Durée : 4 heures

Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé ٍ

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e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions
abordées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
dénoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Interférences lumineuses : interféromètre de Michelson
Données :

e leV=1,60.10-19 J;

e Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3,00.108 m.s"! ;
e Constante de Planck : h = 6,63.10-3* J.s ;

e Constante de Boltzmann : ‏حمطا‎ 1,38.10-23 J.K-1 ;

e Nombre d’Avogadro : Na = 6,02.1023 mol-!.

L'épreuve est composée de quatre parties indépendantes. Le but du problème est
d'étudier quelques aspects théoriques et expérimentaux relatifs à l’interféromètre de
Michelson.

1. Optique géométrique
Une lentille mince convergente (Lo) de distance focale f',, de centre O est
utilisée pour la projection d’un objet AB réel, perpendiculaire à l’axe optique Ox et situé

à la distance d = |OA| de la lentille. Le point A est sur l’axe optique.

1.1. A quelles conditions l’image A'B' de l’objet AB donnée par la lentille est-elle
nette ?
1.2. Construire l’image A’B’ dans le cas où d › 7. Quelle est la nature de l’image ?
Est-elle renversée ou droite ?
1.3. Montrer que le grandissement transversal et la relation de conjugaison de la
lentille (Lo) avec origine au centre s’écrivent respectivement :

O4 1 0

حاب تت ‎et‏ —=

1
OA | O4' OA F4

1.4. On fixe la distance D entre le plan de l’objet AB et l’écran d’observation (E). Quelle
relation doit vérifier la distance focale /' pour que l’image A'B' soit réelle sur (E) ?

: 1.5. Application numérique : D= 1m. Proposer une valeur usuelle de la focale 1

2. Lampe à vapeur de mercure

La lampe à vapeur de mercure émet une lumière polychromatique, c'est-à-dire une
lumière composée de plusieurs radiations monochromatiques. Le diagramme de la
figure 1 représente quelques nivaux d'énergie de l’atome de mercure.

Epreuve de Physique ١ 1/9 Tournez la page S.V.P.

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2.1. Le spectre de la lampe à vapeur de mercure est-t-il discret ou continue ? Justifier.
2.2. L'une des radiations émises par la S fev)

lampe à vapeur de mercure correspond
à la transition du niveau d'énergie ‏ها‎
‎vers le niveau d'énergie 2. Établir la
relation entre la variation d'énergie AE =
Es - E, de l'atome et la longueur d'onde
Â3+1 de la radiation émise.

2.3. Calculer la valeur numérique de
la longueur d'onde 23,1.

2.4. Dans quel domaine, ultraviolet

(U.V.), visible ou infrarouge (IL.R.), se
situe la radiation de longueur d'onde Ec = -10
Â3s1.

figure 1

3. Optique ondulatoire : interféromètre de Michelson
3.1. Questions préliminaires

On considère deux sources lumineuses 5 et S» ponctuelles, monochromatiques, de
même longueur d’onde dans le vide À,, cohérentes et en phase, et d’intensités
respectives 1 et L. La lumière est représentée, au point M et à l'instant t, par une
vibration scalaire d’amplitude complexe a(M.t) = ‏اميا‎ avec j'=-1. Dans cette
expression, 4, est l’amplitude réelle (supposée constante) de la vibration et @(M.t) sa
phase au point M et à l’instante t.

3.1.1. Sous quelles conditions peut-on représenter une vibration lumineuse, de nature
vectorielle, par une grandeur scalaire ?
3.1.2. On note &(M) la différence de marche en un point M de l’espace où viennent
interférer deux vibrations issues de 5 et S. Exprimer &(M) en fonction des chemins
optiques.
3.1.3. Montrer que l'intensité lumineuse /(M) au point M s'écrit :
5(M
I(M) = 1, +1, +211, cos(2x 20m

3.1.4. Représenter les variations de l'intensité lumineuse en fonction de &(M). Indiquer
les points remarquables.

3.1.5. Exprimer les intensités /,, d’une frange brillante et /, d’une frange sombre. En

déduire le contraste de la figure d’interférences défini par C = To . Représenter

l’allure de C en fonction de — ? Commenter.
1

3.1.6. Quel est l’intérêt de choisir deux sources telles que /, = 1, ?

3.1.7. L'expérience montre que l’éclairement engendré par deux sources ponctuelles

| Epreuve de Physique Il 2/9 Tournez la page S.V.P.

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monochromatiques distinctes est uniforme. Donner l’expression de 11071605116 lumineuse
I(M) dans ce cas et expliquer la nécessité de superposer deux vibrations lumineuses

obtenues par division d’une vibration issue d’une source primaire unique ponctuelle
monochromatique S. Expliquer le rôle de la longueur de cohérence dans l’obtention des
interférences lumineuses.

3.1.8. Quelle relation lie la différence de marche 6(M) à l’ordre d’interférence p(M) 2
Sachant que l'observation des interférences permet la mesure de l’ordre d’interférence
p(M) en un point ou la variation Ap de p(M) en ce point, citer trois applications du
phénomène d’interférences lumineuse.

3.2. Description de l’interféromètre de Michelson réel

La figure 2 donne le schéma de l’interféromètre de Michelson pratique couramment
utilisé dans les laboratoires des lycées. 11 est constitué :

- d’une lame séparatrice (Sp) semi-réfléchissante et non absorbante dont les
facteurs de réflexion et de transmission sont égaux à 0,5. Cette lame fixe est
inclinée à 45° par rapport aux normales à (M1) et (M2).

- d’une lame compensatrice (Cp), identique à (Sp) mais non traitée. Elle est réglable
en inclinaison (vis de réglage trappe ct et porte cp).

- d’un miroir plan fixe (M\), réglable en inclinaison (vis de réglage fin trappe mt! et
porte mp1).

- d’un miroir plan mobile (M;), réglable en position (translation à l’aide du chariot
mobile par le tambour (T)) et en inclinaison (vis de réglage semi-fin trappe mt2 et
porte mp2).

- d’une lame de verre à faces parallèles (Va).

figure 2
3.2.1. Le système interférentiel décrit ci-dessus est-il à division du front d'onde ou à
division d’amplitude ? Justifier la réponse.

3.2.2. Expliquer, en se servant d’un schéma soigné, le rôle de la lame séparatrice (Sp).
Quel est l'intérêt pratique de choisir les coefficients de réflexion et de transmission égaux
à 0,5 pour la séparatrice (Sp) ?

Epreuve de Physique Il 3/9 Tournez la page S.V.P.

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3.2.3. Montrer qu’avec ce montage, la moitié du flux incident est irrémédiablement
perdue.

3.2.4. Expliquer, en se servant d’un schéma soigné, le rôle de la lame compensatrice

3.2.5. Quel est le rôle de la lame de verre à faces parallèles (Va) située à l’entrée de
l’interféromètre de Michelson ?

3.3. L'’interféromètre de Michelson éclairé par une source étendue

Dans cette partie, on considère un interféromètre de Michelson idéal constitué par
une lame semi-réfléchissante, non absorbante, appelée séparatrice (Sp), dont les
facteurs de transmission et de réflexion valent 0,5, d’épaisseur nulle et n’introduisant
aucun déphasage, et deux miroirs plans (M1) et (M2). La lame (Sp)u est inclinée à 45° par
rapport aux normales à (M) et (M») (figure 3).

Source

étendue
(Sp)t

figure 3

On suppose dans toute la suite que l’interféromètre de Michelson est plongé dans l’air
d’indice égal à 1.
3.3.1. Expliquer pourquoi, dans l’étude théorique, on peut remplacer les deux lames (Sp)
et (Cp) de l’interféromètre réel par la lame séparatrice théorique (Sp).

3.3.2. Proposer un protocole de réglage de l’interféromètre de Michelson permettant
d'obtenir, avec par exemple une source spectrale de vapeur atomique, une figure

d’interférence nette, contrastée et lumineuse.
3.3.3. Franges d’égale inclinaison

Les miroirs (M1) (de centre O1) et (M2) (de centre O2) sont perpendiculaires entre
eux et respectivement orthogonaux aux axes OO, et OO» de l’interféromètre. On pose

OO1 = let OO; = 1 + e. L’interféromètre est éclairé par une source étendue S à vapeur
atomique de mercure, monochromatique de longueur d’onde dans le vide À, = 546,1 nm .

3.3.3.1. A quelle couleur correspond la vibration de longueur d’onde À, = 546,1 nm ?

3.3.3.2. Comment faut-il éclairer l’interféromètre de Michelson pour obtenir des
franges d’égale inclinaison ? On donnera le montage expérimental.

Epreuve de Physique ١١ 4/9 Tournez la page S.V.P.

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3.3.3.3. Dessiner le schéma équivalent du montage en lame d’air en faisant
apparaître son épaisseur ainsi qu’un rayon incident avec un angle quelconque 7 et les
deux rayons émergents (1) et (2) auxquels il donne naissance. On utilisera les propriétés
de symétrie du montage. Préciser la position des sources secondaires 5 et S». Justifier
que les franges d’interférences observées sur l’écran (E) perpendiculaire à l’axe Oy sont
des anneaux. Sont-elles localisées ? Si oui, dire pourquoi et préciser leur lieu de
localisation.

3.3.3.4. Lors d’une manipulation, on a obtenu des ellipses au lieu des anneaux
circulaires. Expliquer pourquoi. Expliquer comment y remédier.

3.3.3.5. On considère un point M du champ d’interférence. Montrer que la
différence de marche à(M) entre les deux rayons émergents (1) et (2) s'écrit :

3.3.3.6. Déterminer l’expression de la différence de marche &(M) entre les deux
rayons émergents au point M où ils interférent en fonction de l’épaisseur e et de

l’inclinaison /. Justifier l’appellation « anneaux concentriques d’égale inclinaison ».

3.3.3.7. En déduire que l'intensité lumineuse /(M) au point M est donnée par :

Quelle est la signification de /, ? Représenter l’allure de l’intensité /(M) en fonction de
l’angle Commenter.

On observe la figure d’interférence en utilisant une lentille convergente (L’) de distance
focale /".

3.3.3.8. Compléter le schéma obtenu à la question 3.3.3.3. en y ajoutant la lentille
(L’) et le cheminement des deux rayons émergents de l'interféromètre et de la lentille.

3.3.3.9. On dispose de trois lentilles convergentes de distances focales images
5 mm, 20 cm et 1 m. Laquelle doit-on choisir pour projeter les franges d’interférences ?
Laquelle doit-on choisir pour enregistrer les franges d’interférences ? Pourquoi 2

3.3.3.10. | Donner l'expression de l'ordre d'interférence P, au centre de la figure
d'interférences. Calculer sa valeur numérique pour une épaisseur e=1,5mm.
Commenter.

3.3.3.11. On s'intéresse maintenant à l'évolution de l'intensité lumineuse au centre
de la figure d'interférences. De quelle quantité doit-on déplacer le miroir (M») pour passer
d'un maximum d'intensité à un minimum d'intensité. Tracer l'allure de la courbe

décrivant la variation d'intensité en fonction du déplacement de (M:). Peut-on déplacer
indéfiniment (M2) ?

3.3.3.12. 07 se place au voisinage de l'incidence normale. Etablir l’expression du
rayon ‏م‎ correspondant au kim anneau brillant (on compte les anneaux à partir du
centre de la figure et on suppose que po a la valeur trouvée à la question 3.3.3. 10.).

3.3.3.13. — Montrer que les rayons R; des anneaux brillants sur l'écran sont tels que

Epreuve de Physique Il 5/9 Tournez la page S.V.P.

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3.3.3.14. En translatant le miroir mobile, on constate que les anneaux s'enfoncent
dans le centre de la figure. En déduire le sens de variation de l’épaisseur e de la lame
d’air. Comment varie le rayon des anneaux dans ce cas ? Comment varie le nombre total
d'anneaux observés sur l’écran (E) en dehors du centre à la suite de cette translation ?
Les franges deviennent-elles plus fines ou plus larges ? Justifier les réponses.

3.3.3.15. | Qu'appelle-t-on contact optique ? Déduire de ce qui précède, une procédure
pratique pour l'atteindre. Décrire l’aspect de l’écran au contact optique.

3.3.3.16. 90116116 est la source de lumière qui permet de réaliser le contact optique le
plus précis avec l'interféromètre de Michelson ? Justifier votre réponse.

3.3.3.17. La source utilisée n’est pas rigoureusement monochromatique mais quasi-

monochromatique centrée sur la longueur d’onde ‏م‎ (correspondant à la fréquence vo).
Pour des valeurs de la fréquence v comprises entre v et v + dv, l’intensité de la source
vaut dl, =1(v)dv , 1,,(V) est appelé l'intensité spectrale en fréquence. On dispose d’un
photodétecteur ponctuel placé au centre de la figure d'’interférence donnée par
l’interféromètre de Michelson. Le photodétecteur fournit un courant proportionnel à
l'intensité lumineuse qu’il reçoit. Un moteur permet de faire translater le miroir mobile
(M2) à la vitesse constante Vo à partir de la position correspondante au contact optique.

3.3.3.17.1. Donner l’expression de l’intensité lumineuse captée par le photodétecteur
pour une fréquence v donnée.

3.3.3.17.2. Mettre cette expression sous la forme /(r)=1,(1+ cos(27vr)). Donner

l’expression de + ainsi que sa signification physique.

3.3.3.17.3. On considère un faible intervalle de fréquences optiques, entre vet v+ dv.
Exprimer l’intensité élémentaire d/(7) captée par le photodétecteur dans cet intervalle de
fréquence.

Les lampes spectrales (à vapeur atomique : mercure, sodium, …) présentent des
spectres optiques composés de raies plus ou moins fines. La largeur de ces raies

d’émission est principalement due à l’effet Doppler et à la distribution de vitesse des
molécules de gaz présentes dans la lampe. Cette répartition des vitesses des molécules

est régie par la loi de Boltzmann : P(E)=P, 2 fr où P(E) est la probabilité de
8

trouver une molécule à une énergie FE, T est la température absolue du gaz et k, est la

constante de Boltzmann.

3.3.3.17.4. Comment appelle-t-on le terme exp | — 5 ? Quelle est sa signification

physique ?

3.3.3.17.5. Exprimer l’énergie E d’une molécule, supposée ponctuelle, de gaz de masse
m et de vitesse V. En déduire la répartition des vitesses dans le gaz.

La fréquence v émise par un émetteur en mouvement est reliée à la fréquence v,

mesurée par un récepteur fixe par la relation de Doppler : v = v, =(l+—)v,.-
0

5 7

| Epreuve de Physique ١ 6/9 Tournez la page S.V.P.

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3.3.3.17.6. Montrer que l’intensité spectrale d’une raie spectrale peut se mettre, à une
constante multiplicative près, sous la forme : ‏بج( )ل‎ os - _ . Donner
2

l'expression de a.
3.3.3.17.7. Représenter la courbe donnant /,,(v) en fonction de v.

3.3.3.17.8. Calculer la largeur spectrale Av à mi-hauteur de /,,(v) et interpréter la

constante a. En déduire la finesse de la raie à profil gaussien défini par

F = = . Application numérique : calculer la largeur spectrale (en fréquence et en

longueur d’onde) d’une raie d’émission du mercure, à À, 546,1 nm . La masse molaire

du mercure est de 200,6 g.mol-!, et la lampe est portée à une température de 500 K.
3.3.3.17.9. Calculer l’intensité lumineuse d’interférence /(7) que l’on obtiendra au

centre de la figure d’interférences. On rappelle la valeur de l'intégrale de Gauss :

| ° expl- 5 ) exp(2jxux)du = bJx exp(-x"b'x"). D'autre part, la faible contribution des
fréquences négatives à l’intensité spectrale /,,(V) permet d’étendre les intégrales de ‏مح‎ à

‎3.3.3.17.10.Un calculateur associé au détecteur fournit la fonction C(7)= SE ;‏

Etablir l’expression de C(r) . Tracer le graphe de C(7) et celui de /(r).

3.3.3.17.11.Comment avec un enregistrement du graphe de /(7) peut-on remonter
simplement aux caractéristiques spectrales de la source (largeur à mi hauteur, profil
spectral, …)?
3.3.4. Franges d’égale épaisseur

L’interféromètre de Michelson est réglé dans la configuration «contact optique». On
incline le miroir mobile (M») d’un angle ‏ه‎ et on éclaire l’interféromètre en lumière quasi-
parallèle par une source étendue S, monochromatique de longueur d’onde dans le vide

3.3.4.1. On dispose d’une lampe spectrale, d’un diaphragme et d’une lentille
convergente (L;) de focale /', . Donner le protocole expérimental qui permet, à l’aide d’un
miroir plan de positionner ces éléments afin d’éclairer l’interféromètre de Michelson en
lumière quasi-parallèle ?

3.3.4.2. A l’aide d’un schéma soigné, montrer que l’interféromètre de Michelson est
équivalent, du point de vue chemin optique, à une lame coin d’air d’angle a constituée du
miroir fixe (M;) et de (M’2) image du miroir mobile (M) à travers la séparatrice. Préciser la
position des sources secondaires 5: et S».

3.3.4.3. L’interféromètre étant éclairé en lumière quasi-parallèle, on observe les
franges du coin d’air supposées localisées sur le miroir fixe (M). On utilise une lentille
(La) de focale /', pour en visualiser l’image sur un écran.

3.3.4.3.1. Déterminer l’expression approchée de la différence de marche ‏ها‎ en

Epreuve de Physique ١١ 7/9 Tournez la page S.V.P.

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fonction de la distance X d'un point P sur (M\) à l’arête commune des miroirs (M) et (M’;).
Quelle est la forme des franges d’interférences ? Déterminer l’expression de l’interfrange
im SUr le miroir (M1) en fonction de la longueur d’onde À', et de l’angle a.

3.3.4.3.2. La lentille (La) dont la distance focale est /', = +20 cm est placée à une

distance d = 23 cm du miroir fixe. À quelle distance d’ de la lentille faut-il placer l’écran
pour avoir une image nette ? Quel est le grandissement 7 de la lentille ?

3.3.4.3.3. Donner l'expression de l’interfrange à sur l’écran ?

3.3.4.3.4. Sur l’_écran on mesure une interfrange de 6,0 mm. En réalisant l’expérience
avec une longueur d’onde connue on a déterminé la valeur de a : a = 3,0.10-* rad. En
déduire la valeur de À", -

3.3.4.4. Expliquer la démarche expérimentale (manipulation, conditions d’éclairage

et de projection) à suivre pour passer du réglage « coin d’air » à celui «en lame d'air à
faces parallèles » ?

3.3.4.5. Expliquer pourquoi, sur un interféromètre de Michelson, les franges du coin

d'air sont plus faciles à obtenir que les anneaux d'égale inclinaison.

3.4. Application : détermination de l’écart de longueur d’onde du doublet
jaune du mercure

L’interféromètre de Michelson est réglé dans la configuration «lame d’air à faces
parallèles» d’épaisseur e. La source, supposée ponctuelle, est constituée par une lampe
spectrale au mercure qui présente, dans le jaune, un doublet de longueurs d’onde À, et
À2 très voisines. On suppose que chaque vibration est émise avec la même intensité Io.
On pose AX = ‏ع1‎ ki, Am = (da + M1)/2 et on suppose que ‏لذ‎ ‹‹ Am

En déplaçant le miroir mobile (M2) à vitesse constante Vo, grâce à un moteur, les
anneaux défilent. Au foyer F’ de la lentille de projection (L’) est placé un photodétecteur
relié à une carte d’acquisition. On enregistre ainsi grâce à un ordinateur la variation
d’intensité au point F” au cours du déplacement du miroir mobile.

3.4.1. La lampe à vapeur de mercure présente d’autres couleurs dans le visible.
Comment isoler les deux raies jaunes que contient le spectre du rayonnement émis ?

3.4.2. Détermination de la longueur d’onde moyenne \m

Dans cette partie, la lampe de mercure est assimilée à une source ponctuelle
monochromatique de longueur d’onde Am. On déplace le miroir mobile très lentement
grâce au moteur. L'épaisseur de la lame augmente de Ae. Le photodétecteur enregistre N
anneaux brillants qui défilent au centre de la figure d’interférences.

3.4.2.1. Exprimer l’ordre d’interférence p’o en F”.

3.4.2.2. Ecrire une relation entre po, p'o et N. On suppose qu'’initialement l’ordre po
est entier.

3.4.2.3. En déduire l’expression de la longueur d’onde moyenne Am.

3.4.2.4. On note T la période du signal périodique enregistré grâce au

photodétecteur. Montrer que Am = 2 VoT.

Epreuve de Physique ١١ 8/9 Tournez la page S.V.P.

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3.4.2.5. L'enregistrement, d’une durée At = 42 s, est une tension périodique de 81

périodes. Calculer numériquement Ae et la longueur d’onde moyenne Am. On donne la
vitesse du moteur Vo = 556 nm.s-!.

3.4.3. Détermination de l’écart de longueur d’onde ‏بنذ‎

On augmente l'épaisseur e de la lame d'air à partir du contact optique.

3.4.3.1. Les deux vibrations de longueurs d’onde À, et À sont-elles cohérentes ?

3.4.3.2. Montrer simplement que les interférences « disparaissent » pour certaines
épaisseurs successives ex que l’on déterminera. Que vaut la distance Ae parcourue
par le miroir mobile entre deux brouillages successifs. En déduire que A) = \2m/(2Ae).

3.4.3.3. L'écart temporel entre deux brouillages successifs est At = 144,5 s et la
vitesse du moteur est Vo = 556 nm.s-!. Calculer numériquement ‏بنذ‎

3.4.3.4. Déduire des calculs précédents À; et À.

3.4.4. Mise en équation mathématique

3.4.4.1. Déterminer l’expression mathématique de l’intensité I(e).
Rappel : cos(a)+cos(a)=2cos( 5 5 ٍ ‏قم‎ )

3.4.4.2. Etablir l’expression du ‏وجو‎ C des franges. On rappelle que AÀ ‹‹ Am.

3.4.4.3. Retrouve-t-on le résultat établi à la question 3.4.3.2. ?

4. Histoire : l'expérience de Michelson-Morley

L'expérience de Michelson-Morley avait pour but de mettre en évidence la présence
d'un hypothétique éther dans lequel la Terre se déplace, et qui définit le référentiel
d'inertie dans lequel la lumière se propage à la vitesse c (supposée constante et isotrope).
Le résultat négatif de cette expérience est une des expériences fondamentales qui ont
mené à la relativité restreinte.

Le principe de l'expérience est d’utiliser l’interféromètre de Michelson, réglé en lame
d'air à faces parallèles, pour comparer les temps d'aller-retour dans les deux bras
perpendiculaires de l'interféromètre de même longueur ! = OO, = OO», lorsque ceux-ci
sont en mouvement par rapport à l'éther. L’interféromètre est fixe dans le référentiel du
laboratoire et on suppose que l’un des bras est orienté suivant la direction du
mouvement de la Terre sur son orbite à la vitesse u. La longueur déployée des bras est de
]= 10 m. La source de lumière utilisée était une lampe à vapeur de Sodium de longueur
d'onde Ào = 589 nm. La Terre se déplace à u = 30 ‏فضا‎ autour du Soleil.

4.1. Effectuer un calcul de physique Galiléenne pour calculer les temps ti et t: mis par
la lumière pour effectuer les trajets aller-retour respectifs OO10 et OO20 (figure 3).

4.2. En déduire, dans la limite u ‹‹ c, la différence de marche qui devrait être observée
en sortie de l'interféromètre lorsqu'on l'éclaire en lumière monochromatique.

4.3. Les franges d'interférence observées dépendent-elles de u ?

4.4. En réalité, l'expérience montre qu'elles n'en dépendent pas ; que peut-on dire de la
validité de la mécanique “classique” (non relativiste) pour cette expérience ?

Epreuve de Physique ١١ 9/9 FIN

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