نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2008: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun

École Nationale des Industries Minérales
ENIM

Concours National Commun d’admission

aux Grandes Ecoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2008

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Filière MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 8 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats du concours MP,
comporte 8 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé .

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les | références |des questions abordées.

Le sujet comporte deux parties totalement indépendantes.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres
significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagnée de son unité.

On donne pour toute l'épreuve :
- la permittivité du vide ‏و2‎ = 8,854 x 10-12 SI ;

— on note j le nombre complexe de module unité et d'argument 7/2.

1°° partie

Conducteurs en équilibre électrostatique
On note respectivement E(M) le champ électrique, (M) le potentiel électrique et p(M) la

densité volumique totale de charges électriques en tout point M de l'espace. On suppose que les
conducteurs considérés obéissent à la loi d'OHM locale et on note o, la conductivité électrique.

1.1. Relations générales
1.1.1. Théorème de Gauss
1.111. Énoncer le théorème de GAUSS sous sa forme intégrale.

1.1.1.2. Définir l'équilibre électrostatique d’un système de conducteurs.

1.1.2. Conducteur cylindrique chargé

On considère un conducteur cylindrique (C;) de section circulaire de rayon R,, d'axe Oz et de
hauteur h › R, de sorte que l'on puisse négliger tout effet de bord. Ce conducteur présente une
charge @ › 0, il est en équilibre électrostatique placé dans le vide et est suffisamment éloigné de
toute autre distribution de charges pour que l'on puisse négliger toute influence. On pourra utiliser
les coordonnées cylindriques habituelles (r, 0, z) et on notera (@,, €, €) la base locale de ces
coordonnées.

1.1.2.1. Décrire la distribution de charges électriques de ce conducteur en équilibre électro-
statique. Justifier clairement la réponse.

1.1.2.2. Analyser les symétries et les invariances de la distribution de charges. En déduire
d’une part les composantes non nulles du champ électrique et d'autre part les coordonnées d'espace

dont dépend É.

Épreuve de Physique II 1/8 Tournez la page S.V.P.

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1.1.23. Établir l'expression du champ électrique en tout point M de l’espace. Représenter
graphiquement le module | Æ| en fonction des coordonnées d'espace.

11.24. Quelle est la valeur du champ électrique en 7 = R, ? Enr = Ri ? Quel résultat
retrouve-t-on ainsi ?

1.1.3. Quadrupôle cylindrique

On considère maintenant un ensemble de quatre conducteurs cylindriques identiques chargés
(C1), (Ca), (C3) et (C4) formant un quadrupôle électrique en équilibre électrostatique placé dans le
vide (figure 1). La charge totale du système est nulle. On note Q › 0 la valeur absolue de la charge
du conducteur (C;).

La figure 1 représente l'allure des lignes équipotentielles au voisinage du centre X du quadrupôle.

Figure 1: Allure des équipotentielles du quadrupôle électrique en équilibre électrostatique.

On donne la valeur du potentiel électrique & du système sur certaines équipotentielles :
‹ équipotentielle ‏ع‎ : = 0,90 kV;

‹ équipotentielle f : ÿ; = 0, 60 kV ;

‹ équipotentielle c : & = —0, 30 kV.

1.1.3.1. Déterminer en le justifiant la valeur du potentiel électrique & sur les équipotentielles

Épreuve de Physique II 2/8 Tournez la page S.V.P.

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1.1.3.2. En analysant les symétries du problème, déterminer en le justifiant la valeur du
potentiel électrique & sur les équipotentielles e, b et a.

1.1.3.3. Déterminer en le justifiant la charge Q; (avec ‏أ‎ = 1,2,3 ou 4) de chacun des quatre
conducteurs en fonction de @.

1.1.3.4. Recopier l'allure des équipotentielles sur la copie et représenter soigneusement la
ligne de champ électrique reliant dans le vide les points À et B. On n’omettra pas d'indiquer
l'orientation de cette ligne de champ sur le schéma.

1.1.3.5. Déterminer en le justifiant la valeur du champ électrique Ë au centre X du quadru-
pôle.

1.1.3.6. Représenter de même la ligne de champ électrique orientée reliant dans le vide les
points Y et X et celle reliant X et Z.

1.1.4.  Condensateur cylindrique — Généralités

On suppose maintenant que le conducteur (C; ) est entouré d’un autre conducteur (C») de même
hauteur h, de rayon intérieur Rs et de même axe de révolution Oz (figure 2). Un générateur de
tension continue, non représenté sur le schéma, impose au conducteur (C;) un potentiel constant
U › 0. On note Q, la charge totale de (C;) et ‏و‎ la charge totale de (Ca). Un milieu isolant assimilable
au vide sépare (C;) de (C2). On note ‏“تون‎ une éventuelle charge amenée de l'extérieur (r › RS")
sur (Ca).

Figure 2: Conducteurs cylindriques en équilibre électrostatique.

1.1.4.1. En appliquant le théorème de GAUSS, déterminer la charge portée par l'armature

intérieure de Ca. En déduire la relation entre Q1, ‏ول‎ et ‏طول‎

1.1.4.2. Comment ‏ون‎ est-elle répartie sur (C») ? Cette charge a-t-elle une influence sur 7
Justifier la réponse.

1.1.4.3. Donner l'équation de MAXWELL-GAUSS.

1.1.4.4. Dans le cas général, donner l'expression de É en fonction du potentiel électrique @ à
l'équilibre électrostatique.

Épreuve de Physique II 3/8 Tournez la page S.V.P.

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1.1.4.5. En déduire l'équation différentielle satisfaite par & en tout point M. Comment s’écrit
cette équation en tout point compris entre (C; ) et (Ca) ? Comment appelle-t-on cette équation ?

1.1.4.6. Déterminer l'expression du potentiel électrique & que créerait le conducteur cylin-
drique (C1) en tout point de l’espace s’il était seul. On exprimera &(r) en fonction de ‏رده‎ r, R1, h et
Montrer que cette expression diverge alors loin du conducteur si on suppose que celui-ci est
seul. Comment peut-on interpréter ce comportement singulier ? Que vaut le potentiel électrique
dans le conducteur (C;) ? Comment appelle-t-on un tel volume ?

Le conducteur (C») est à présent relié à la terre.

1.1.4.7. Que vaut le potentiel du conducteur (C»)? En déduire l'expression du potentiel
électrique @ en tout point de l'espace compris entre (C;) et (C») en fonction de r, U, R, et Rs.
Représenter graphiquement &(r) en fonction de r pour r € [0, RS**]. Que vaut ‏و‎ dans ce cas ?

1.1.4.8.  Rappeler la définition de la capacité C' d’un condensateur en équilibre électrostatique.

1.1.4.9. Déduire des questions précédentes l'expression de la capacité C' du condensateur
cylindrique représenté figure 2.

On rappelle que la densité volumique we d'énergie électrostatique dans le vide et dans les
conducteurs est définie par we = 3 eoÆ2. On suppose désormais que ‏ول‎ = 0.

1.1.4.10. Déterminer l'expression de we en tout point de l’espace. En déduire l'énergie
électrostatique We du condensateur cylindrique.

1.1.4.11. En déduire une nouvelle expression de la capacité du condensateur cylindrique.
Comparer avec 1.1.4.9.

On suppose maintenant que Rs = R, + dR, avec ôR, ›› R1.

1.1.4.12. Montrer alors que la capacité C du condensateur cylindrique s'écrit en bonne
approximation sous la forme :

ere ‏لت‎ 0)

avec e et Ÿ des grandeurs positives que l’on exprimera en fonction de ôR, et de h. Quel résultat
retrouve-t-on ici ?

1.2. Condensateur cylindrique en ARQS — Applications

On se place désormais dans l'Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS) et l’on
admettra que les expressions précédemment établies pour la capacité Ç du condensateur cylin-
drique restent valables. Les signaux électriques x(t) utilisés dans cette partie sont tous harmoniques
de pulsation w et de notation complexe 1(t) = X exp j(wt + ‏وم‎ ). On suppose que les différents mi-
lieux qui entourent les conducteurs ont les mêmes propriétés électriques que le vide, caractérisés
par une permittivité diélectrique 20.

1.2.1. Généralités
1.2.1.1. Rappeler le cadre d'application de l'ARQS.
1.2.1.2. Écrire les quatre équations de MAXWELL dans le cadre de l'ARQS.

1.2.1.3. Montrer que l'expression de la capacité C en ARQS est la même qu’en régime
statique à condition que F › w À. Avec E et À respectivement l'amplitude du champ électrique
E et l'amplitude du potentiel vecteur magnétique A. Montrer que cela revient à négliger tout
phénomène d’induction dans le condensateur.

Épreuve de Physique II 4/8 Tournez la page S.V.P.

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On supposera désormais ce résultat applicable dans toute la suite du problème.

1.2.2. Capacité d'un câble coaxial

Un câble coaxial utilisé au laboratoire d'électronique est constitué d’un conducteur cylindrique
(C,) de rayon R, = 0,1 mm entouré d’une tresse métallique (C») de rayon interne Ra = 0,4 mm,
tous deux de longueur h = 1,0 m. Un milieu isolant assimilable au vide sépare )0( de (Ca). La tresse
métallique est elle même protégée de l'extérieur par une gaine souple isolante en PVC par exemple.
Une coupe transversale de ce câble est représentée figure 2.

1.2.2.1. Déterminer numériquement la valeur de la capacité ) d’un câble coaxial de longueur

1.2.2.2. On associe bout à bout deux câbles coaxiaux identiques et du type précédent à l’aide
d’une fiche métallique en 1 qui relie entre eux les conducteurs de même nature. Le câble coaxial
ainsi constitué est-il l'association série ou parallèle des deux câbles coaxiaux considérés ? Justifier la
réponse à l’aide d’un schéma par exemple. Calculer numériquement la capacité de l'association.

Pour mesurer la capacité du câble coaxial de la question 1.2.2.1., on propose une simple
expérience de résonance d'intensité avec un circuit RLC série, le condensateur étant constitué
du câble coaxial à caractériser. On note u,(t) = U,coswt la tension d’excitation délivrée par le
générateur de tension qui excite le montage.

1.223. Représenter le schéma de principe du circuit RLC série et les branchements permet-
tant de visualiser l'excitation u,(t) sur la voie X d’un oscilloscope et l'image du courant (t) sur la
voie Y. On prendra garde aux éventuels problèmes de masse électrique.

1.224. Déterminer l'expression en régime harmonique, du déphasage Ag = ‏رم — وي‎ entre la
tension d’excitation et le courant :(t) qui circule dans le circuit. Que vaut ce déphasage à la résonance
d'intensité ? En déduire l'expression de la fréquence de résonance v.

1.2.2.5. On se place en mode de visualisation XY sur l’oscilloscope. Quelle figure obtient-on
hors résonance ? Même question à la résonance ?

1.2.2.6. Analyser de manière qualitative l'influence de la valeur de la résistance R sur la
détermination de la résonance.

1.2.2.7... On donne R = 100 ®Q et L = 100 mH. Déterminer numériquement la valeur de ‏سس‎
‎pour le câble coaxial de la question 1.2.2.1

1.3. Principe d’un capteur de force capacitif

On considère le condensateur plan représenté figure 3, dont l'armature (—) est supposée mobile
selon l'axe 02 et l'armature (+) est supposée fixe. Les plaques du condensateur restent en perma-
nence parallèles entre elles. Les armatures ont une surface et l'épaisseur x du condensateur est
faible devant les dimensions caractéristiques des plaques, de sorte que l’on puisse négliger tout ‏على‎
‎fet de bord (condensateur plan idéal). Le milieu qui sépare les plaques est assimilable au vide de
permittivité eo.

1.3.1. Généralités

1.3.1.1. Montrer que la capacité C d’un condensateur plan idéal d'épaisseur ‏نه‎ et de surface
X est donnée par :

1.3.1.2. Rappeler l'expression de l'énergie électrique Le d’un condensateur en fonction de la
capacité C du condensateur et de la tension U.

Épreuve de Physique II 5/8 Tournez la page S.V.P.

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Figure 3: Schéma de principe d’un capteur capacitif à tension constante.

1.3.1.3. Suite à une variation dC de la capacité du condensateur, sa charge varie de ‏.ول‎ Rap-
peler l'expression du travail électrique élémentaire ôW, fourni par le générateur pour maintenir sa
tension constante. On exprimera le résultat tout d’abord en fonction de la charge Q du condensateur
et de la tension U, puis en fonction de C'et de U.

1.3.2. Détection de force par déplacement

On modélise la force exercée sur l’armature (—) par un « opérateur » qui exerce de manière
réversible une force F op = Fop € a avec Fop › 0.

1.3.2.1. Effectuer un bilan énergétique du système constitué par le condensateur, lorsque
la plaque (—) est déplacée par l'opérateur de manière quasi-statique d’une distance dr › 0. On
prendra soin de détailler la signification de chacun des termes de ce bilan.

1.3.2.2. Déduire des questions précédentes l'expression de la force F,p en fonction de U,
‏رو‎ D et la position d'équilibre finale x de la plaque. En déduire que la mesure de r permet une
détermination de la force qu’exerce l'opérateur sur la plaque.

1.3.2.3. Calculer le travail Wep que doit fournir l'opérateur pour faire passer l’armature (—)
de la position xp à la position ‏ود‎ + Ar (avec Ax › 0) de manière quasi-statique. Discuter le signe de
Wop- Ce travail est-il moteur ou résistant ?

2ème partie
Oscillateur commandé en tension (OCT)

Les applications des condensateurs sont nombreuses en électronique. La réalisation d’un Oscil-
lateur Commandé en Tension (OCT) nécessite quasi-systématiquement l’utilisation d’un condensa-
teur. On indique qu’un OCT est un système fournissant un signal périodique dont la fréquence v
est commandée par une tension ve.

On considère le circuit représenté figure 4. Les amplificateurs opérationnels (AO) sont supposés

idéaux et sont polarisés de manière symétrique à +Ve et ‏ما‎ avec Ve = 15 V. On donne des
tensions de saturation des deux AO : V2, = + ‏يميا‎ = +Vec et ‏مما‎ = —Vsat = —Vec-

L'amplificateur opérationnel AO1 est supposé fonctionner en régime linéaire. On posera 7 =

Le transistor T fonctionne comme un interrupteur idéal commandé par le courant électrique @7 :

- lorsque is › 0, le transistor T fonctionne comme un interrupteur fermé idéal (R7 = 0) et relie
directement la résistance R/2 à la masse. Dans ces conditions le potentiel du point B vaut en
bonne approximation V5 = ‏ون‎ = 0,6 V;

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- lorsque ‏و‎ = 0, le transistor T fonctionne comme un interrupteur ouvert idéal (R7 = oo) et
ir =0.

- lorsque in › 0, le transistor 1 est détruit !

La diode de signal D est supposée idéale :
- lorsque up › 0, la diode D est bloquée et in = 0;
- lorsque ip › 0, la diode D est passante et up = 0.

La tension de commande ‏ون‎ est supposée constante.

092

Figure 4: Oscillateur commandé en tension OCT.

2.1. Fonctionnement de l’amplificateur opérationnel 1

21.1. Établir l'équation différentielle satisfaite par les tensions v. et vs, lorsque ‏و‎ › 0. Sim-
plifier éventuellement cette équation en rappelant que w est constante. Quelle est alors l'opération
mathématique effectuée par la portion £1 — S1 du circuit ? En déduire, à une constante C; près,
l'expression de vs1(t) en fonction de ‏را‎ de 7 et de v.. Représenter graphiquement l'allure de vs1 (t).

2.1.2. Mêmes questions lorsque ‏و‎ = 0. Quelle est alors l'opération mathématique effectuée
par la portion E1 — S1 du circuit ? En déduire, à une constante ‏ون‎ près, l'expression de vs1(t) en
fonction de t, de 7 et de ve. Représenter graphiquement l'allure de vs1 (t).

2.2. Fonctionnement de l’amplificateur opérationnel 2

2.2.1. L'amplificateur opérationnel AO2 fonctionne-t-il de manière linéaire ou saturée ? Justi-
fier simplement la réponse.

2.2.2. Quelles valeurs la tension vs2 peut-elle prendre ?

2.2.3. Déterminer et représenter graphiquement la caractéristique de transfert ‏وو‎ = vs2(vs1)
de la portion S1 — S2 du montage. On pourra négliger l'effet de la résistance R3 sur le fonction-
nement de l'amplificateur opérationnel AO2. Comment appelle-t-on un tel circuit ?

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— صفحة 9 —
2.24 À quelle condition sur vsy (t) la sortie 52 passe-t-elle de sa valeur maximale à sa valeur
minimale ? De même à quelle condition sur vs1 (t) la sortie 52 passe-t-elle de sa valeur minimale à
sa valeur maximale ?

2.3. Rôle de la diode D

2.3.1.  Représenter la caractéristique statique ip = ip (up) de la diode D.

2.3.2. Quel est l’état de la diode D lorsque la tension vs» atteint sa valeur maximale ? Que
vaut alors le courant ip ? Donner dans ces conditions l'expression de i en fonction de ‏ا‎ R3 et
Us, ? Comment se comporte alors le transistor T? D’après les données de l'énoncé, montrer que
l'expression de ‏و‎ peut être simplifiée. Quelle est alors l'expression 6 (t) ?

2.3.3. De même lorsque la tension vs» atteint sa valeur minimale, que vaut la tension uv ? Quel
est alors l'état de la diode D? Que vaut le courant ‏عي‎ ? Donner dans ces conditions l'expression
de ip en fonction de V et de R3 ? Comment se comporte alors le transistor T? Quelle est alors
l'expression de vs1 (t) ?

2.4. Signaux délivrés par l'OCT
On suppose qu'à l'instant initial + = 0, la sortie 52 est à son niveau maximal et vs; = 0.

2.4.1. Quel est alors l'état de fonctionnement du transistor 1 ? En déduire l'expression complète
de ‏.)رون‎ Montrer qu’il existe un instant ‏ل‎ › 0 pour lequel la sortie S2 bascule vers son niveau
minimal.

2.4.2. Lorsque 52 est à son niveau minimal, quel est alors l’état de fonctionnement du transistor
T ? En déduire l'expression complète de ‏رون‎ (t). Montrer qu'il existe un instant ta › t, pour lequel la
sortie S2 bascule à nouveau vers son niveau maximal.

2.4.3.  Déduire des questions précédentes que les signaux vs; et ‏وود‎ sont périodiques de période
T'. Représenter graphiquement et en concordance des temps l'allure des signaux ‏رون‎ et vsa pour

2.4.4. Déduire des questions précédentes l'expression de la période 7' des signaux ‏رون‎ et vs9
en fonction de 7, R,, Ra, Ve et ve. En déduire l'expression de la fréquence v de l'OCT et montrer
qu’elle est commandée par la tension ve.

2.45. Application numérique : On donne R, = ‏رو‎ R = 10 kQ, C = 500 pF et v. = 0,1 V.
Déterminer numériquement la valeur de la fréquence v délivrée par l'OCT.

2.5. Proposer une application possible de l'OCT.

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Physique II 8/8 FIN

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