نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2005: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l’Éducation Nationale, de l'Enseignement
Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun 2005
École Hassania des Travaux Publics
EHTP

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d’Ingénieurs ou Assimilées
Session 2005

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Durée 4heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 7 pages au format AA en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les des questions abordées.

Méthode photothermique de mesure d’une température

Le problème traite de la mesure de la température d'un corps. Dans certaines situations, la
mesure d'une température à l'aide d’un thermomètre de contact est impossible (températures
élevées, objets éloignés, …). On peut alors mettre en œuvre des méthodes optiques comme le
pyromètre optique ou la méthode photothermique que nous étudions dans ce problème.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre,

La méthode photothermique de mesure de la température Ty d’un corps solide opaque consiste
à perturber localement le champ des températures T(,t) de ce corps par un apport d'énergie
lumineuse variable ‏()مرم‎ = Pa, F{t). Cette énergie lumineuse est fournie par un faisceau laser
cylindrique monochromatique de longueur d'onde Xp dans le vide et de section transversale AS.
La variation temporelle F(t) est obtenue à l’aide d’un hacheur optique.

Le champ des températures perturbé peut s’écrire en présence du flux laser modulé sous la
forme :

avec ÂT ‹ 76 5

En présence du faisceau laser, le corps émet localement un rayonnement thermique dé tempéra-
ture T(7,t) qui est analysé par un détecteur photométrique.

On considère le dispositif expérimental dont le schéma de principe est représenté figure 1.
L'échantillon (2) dont on veut mesurer la température Ty est un solide opaque, cylindrique de section
circulaire AS et d'épaisseur e = 1 cm. La paroi latérale de l’échantillon est supposée parfaitement
calorifugée par un corps athermane. La face supérieure (FS) de l'échantillon est à l’air libre de
température T4

L'air ainsi que tous les milieux traversés par les divers flux lumineux sont supposés parfaitement
transparents. Tous les instruments de mesure sont supposés à la température constante T,. On
appelle h, supposé constant, le coefficient de transmission thermique de surface entre (FS) et l’air
immobile à grande distance de (FS). La face inférieure (FI) de l'échantillon est en contact thermique
parfait avec un thermostat de température constante Ty.

Du fait de l'éclairage ambiant, le solide est soumis en permanence à un flux surfacique lumineux
parasite noté ‏ووم‎ qui apporte au corps une très faible énergie thermique.

Les propriétés radiatives de (X) sont modélisées par celles du corps noir.

On note c la chaleur spécifique du solide, À sa conductivité thermique et p sa masse volumique.
Ces grandeurs seront supposées constantes.

1** partie
Modélisation et mise en équation
1.1. Étude de l’équilibre thermique initial

On considère tout d'abord la situation initiale où le solide n’est pas éclairé par le faisceau laser.
Dans ces conditions le corps est en équilibre thermique à la température Ty constante.

Épreuve de Physique II 1/6 Tournez la page S.V.P.

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disque opaque percé ÿ
i ath
5 7 Paroi athermane
faisceau laser modulé
‏ا ان اد عد اد — سد لادان سات هات‎
- 1 _ ‏ل ل ل ل سيد 1 ل‎

filtre optique

Figure 1: Schéma de principe du dispositif expérimental. L'origine de l'axe Oz est choisi sur la face

1.1.1. Corps noir
1.1.1.1. Rappeler la définition du corps noir.

1.1.1.2. Donner l'expression du flux hémisphérique surfacique total ‏ألم‎ émis par le corps
noir de température thermodynamique T. Comment appelle-t-on cette loi ?

1.1.1.3. Quelles sont les conditions d'application de cette loi ?
1.1.2. Équitibre thermique

1.1.2.1.  Rappeler l'expression de l'énergie interne massique u d’un solide idéal en fonction
de la chaleur spécifique c constante, de la température thermodynamique T et d’une éventuelle
constante uo.

11.22. La température initiale 76 du solide étant supposée uniforme, montrer à l’aide d’un
bilan d'énergie détaillé que Ty vérifie l'équation (1) :

avec o la constante de STEFAN.

1.1.2.3. Déduire de la faible valeur de ‏يوم‎ que la température Ty du corps est très légèrement
supérieure à la température ambiante T4

1.1.2.4. Linéarisation : En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que l'on peut
linéariser l'équation (1) sous la forme :

Épreuve de Physique II 2/6

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1.2. Ordres de grandeurs
1.2.1. Bilan d'énergie en régime variable

On considère le solide (P) de la figure 1. On suppose que sa température est variable et peut
s’écrire sous la forme T = T(7,t), du fait d’un apport d'énergie thermique surfacique variable, à
l'interface entre (FS) et l'air libre, en x = 0.

1.2.1.1. En examinant les symétries et les conditions aux limites radiales du problème, mon-
trer que le champ des températures T(7, t) ne peut dépendre que du temps t et d’une seule variable
spatiale que l’on précisera.

1.2.1.2. Établir à partir d’un bilan détaillé d'énergie que l'équation vérifiée par la température
T au sein de l'échantillon est donnée par :

ôT @T
D 7 522 0

avec a la diffusivité thermique du solide, dont on donnera d’une part l'expression en fonction de ‏رم‎ À
et c et d'autre part l'unité dans le système international SI.

1.2.1.3... On note ôt la durée de l'expérience pendant laquelle on impose l'apport d'énergie
thermique à l'interface entre (FS) et l'air libre. En écrivant à partir de (3) une équation aux dimen-
sions, donner en fonction de a et ôt, l'expression de la longueur La de pénétration de l'énergie
thermique par diffusion dans le solide.

1.2.1.4. On donne a = 10-951 et ôt = 0, 1 s. En déduire la valeur numérique de la longueur
de pénétration L, de l'énergie thermique dans l'échantillon.

1.2.1.5. En comparant la valeur numérique de ‏ونا‎ à l'épaisseur e = 1cm de l'échantillon,
montrer que l’on a T(x › Lg,t) = Ty à chaque instant t de l'expérience.

1.2.2. Effet d'un flux lumineux incident variable

“ On suppose maintenant que l'apport d'énergie thermique au niveau de la face supérieure (FS)
de l'échantillon est due au faisceau laser cylindrique qui illumine exactement la face (FS).

Le faisceau laser est modulé dans le temps à l’aide d’un hacheur optique constitué d’un disque
opaque percé de plusieurs orifices circulaires transparents de même section que le faisceau laser. Ce
disque mis en rotation uniforme à vitesse angulaire constante intercepte périodiquement le faisceau
(figure 1).

L'expression de la densité surfacique de puissance lumineuse transportée par le faisceau laser
modulé est donnée par :

On suppose que l'intensité lumineuse du faisceau laser est uniforme sur sa section.
Seule la contribution variable du flux étant détectée ultérieurement, on se limite à la pulsation
fondamentale en écrivant la fonction modulante F(t) sous la forme :

F(t) = coswot (8)

1.2.2.1. La puissance lumineuse du laser utilisé dans cette expérience est P = 2W pour un
rayon du faisceau laser qui vaut 7 = 5mm. En déduire l'expression et la valeur numérique de ‏.كم‎
‎Commenter cette valeur.

1.2.2.2.  Représenter graphiquement l'allure de (p°(t) en fonction du temps t.

Lors de son interaction avec l'échantillon (Z), la lumière du laser est absorbée par l'échantillon selon

Épreuve de Physique II 3/6 Tournez la page S.V.P.

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une loi exponentielle. La densité surfacique de puissance lumineuse absorbée par la matière est alors
donnée par :

avec ‏ثم‎ et Lg des constantes positives. On donne La = 10-7 ‏.ص‎
‎1.2.2.3. Quel est le sens physique de la constante La, ?

1.2.2.4. Comparer L,, à l'épaisseur e de l'échantillon )2(. En déduire une représentation
graphique pertinente de la densité surfacique de puissance lumineuse pa, (x,t) absorbée par (£)

1.2.2.5.  Déduire des questions précédentes que l'équation (3) est encore valable lorsque
l'échantillon (Z) est illuminé par le faisceau laser modulé.
1.3. Résolution et conditions aux limites

On cherche à résoudre l'équation (3) qui donne le champ des températures T (x, t) au sein de (£)
lorsque le solide est éclairé par le faisceau laser modulé. Le faible flux parasite (ppa, la température
ambiante Tz et la température Ty du thermostat sont supposés avoir les mêmes valeurs que dans la
situation statique de la question 1.1.

On pose la température absolue complexe T(x, t) sous la forme :

T(x,t) = 0(x) exp iwot + To (7)

avec (x) une fonction a priori complexe de la position x uniquement, i? = —1etT(2,t) = R(T(s,1)]
où R désigne la partie réelle. On rappelle que Vi = ‏ليا‎ et que exp —iF = ‏جل‎ )1 — i).
1.3.1. Équation différentielle
1.3.1.1.  Déduire des relations (3) et (7) l'équation différentielle vérifiée par la fonction (x).

1.3.1.2. En déduire que la fonction (x) est de la forme
8(x) = Aexpaz + Bexp az

avec À et B deux constantes a priori complexes, dont on ne demande pas l'expression ici et œ une
constante complexe que l'on exprimera en fonction de ‏وس‎ et de a.

1.3.2. Conditions aux limites

1.3.2.1. En remarquant que la température T(x › Lg,t) de l'échantillon est finie, simplifier
l'expression de (x).

1.3.2.2.  Linéarisation : L'écart entre la température absolue T'(x, t) et la température ambiante
Ta étant faible, montrer que la partie pŸ = o[T*(0,t) — T2] du flux radiatif surfacique hémisphérique
pŸ de l'échantillon peut se mettre sous la forme linéarisée :

1.3.2.3. Donner l'expression de chacun des courants volumiques d'énergie thermique exis-
tant à l'interface x = 0 de l'échantillon.

1.3.2.4. En déduire une équation de continuité faisant intervenir T'(0, t), Ta, ( ‏)0م رمدو(‎ et
Ppa-

Épreuve de Physique II 4/6

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1.3.2.5. En utilisant les résultats (2) et (8), montrer que la fonction @ obéit à l'équation de
continuité :

- )( 7 27100) 0

avec he une constante dont on donnera l'expression en fonction de h, ‏ه‎ et Te

1.3.2.6. Déduire de (9) l'expression de la constante B en fonction de ‏,اي‎ he, À et œ. On donne
a = 10-6 SI, h = 20W.K—!.m72, a = 5,67 x 10-78 W.K-4.m72, À = 10W.m"!.K*, Ta = 300K et
fo = 52 = 500 Hz. ‘

1.3.2.7. Montrer par un calcul d’ordre de grandeur que he › ‏بادا‎ où |a| désigne le module
de a. En déduire finalement que 2 peut s’écrire sous la forme

0
B= ‏اوتا‎

13.28. En déduire que l'expression de 9(x,t) = 4(x) exp iwo t peut se mettre sous la forme :

0

1.3.2.9. Donner finalement l'expression du champ des températures T'(x,t) dans le solide
(2). Discuter le sens physique de chacun des termes qui apparaissent dans T'(x,t). Vérifier qu'en
absence de faisceau laser on retrouve là situation statique.

2ème partie
Détection et analyse du signal

Le signal S,(t) délivré par le détecteur est proportionnel à la densité spectrale pË du flux
_hémisphérique surfacique partant de )2(. Un dispositif optique non représenté permet de focaliser
ce flux sur le détecteur. Un filtre passe-bande optique idéal de longueur d’onde centrale À et de
bande passante ‏لح‎ › \ ne laisse passer que la fraction d'énergie lumineuse dont la longueur
d'onde est comprise entre À — A\/2 et A\ + AX/2 avec un coefficient de transmission 7)2( à 1
dans cet intervalle de longueur d'onde.

2.1. Détection du signal

2.1.1. Densité spectrale

2.1.1.1. Représenter graphiquement l'allure du coefficient de transmission 7(X) du filtre en
fonction de À.

On rappelle que la densité spectrale pŸ du corps noir obéit à la loi de PLANCK.
2.1.1.2. Rappeler la loi de Planck du rayonnement du corps noir.

2.1.1.3. Montrer que got peut s’écrire sous la forme :

8 pexP ‏د‎

2
OT 72 (exp sr —1)
avec p et b des constantes positives dont on donnera les expressions.

Épreuve de Physique II 5/6 Tournez la page S.V.P.

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2.1.2. Signal délivré par le détecteur
On note désormais ‏م‎ (T) = L\(T), avec T = 20 + AT(0,t) et AT(0,t) › Ty. Le signal délivré
par le détecteur peut se mettre sous la forme :

avec D, la détectivité spectrale du détecteur, que nous supposerons constante dans tout le domaine
spectrale étudié.

2.1.2.1. En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le signal S,(t) peut
s'écrire :

Sy(t) = Dy [exo + AT(0, t) 1) | AA

2.1.2.2. Un dispositif de détection synchrone que nous n’étudierons pas, permet d'extraire
du signal S,(t) uniquement la composante variable de même pulsation wo que le hacheur optique.
Donner dans ces conditions l'expression du signal S' (t) délivré par le détecteur synchrone.

2.2. Analyse du signal

On utilise successivement deux filtres optiques idéaux différents, de longueurs d'onde centrales
respectives À; et A2 et d'étendues spectrales respectives A\; et ‏.رط‎ On mesure successivement les
valeurs efficaces S’,, et S, des signaux respectifs 5}, ‏قا‎ et 5, (t) délivrés par le détecteur synchrone.

Montrer que le rapport des valeurs efficaces 5), et 5), permet de mesurer la température Ty de
la surface du solide (Z).

- FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Physique II 6/6 FIN

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