نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2000: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère Chargé de l’Enseignement Ministère de l'Enseignement
Secondaire et Technique Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d’Ingénieurs
Session 2000

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Durée 4 heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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L’énoncé de cette épreuve comporte 9 pages.
L’usage de la calculatrice est aUtorisé .

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les | références | des questions abordées.

Étude d’un guide d’ondes électromagnétiques

Le guidage des ondes électromagnétiques s'impose chaque fois qu’il est nécessaire de « canali-
ser ) l’information reçue par le récepteur vers un système utilisateur distant (exemple : antenne
réceptrice — câble — poste de télévision). Outre la fiabilité et la confidentialité de l’information qu’il
assure, le guidage des ondes électromagnétiques peut aussi constituer une solution au problème de
la saturation hertzienne que connaissent certaines plages de fréquences dans certaines régions du
monde (chaînes câblées de télévision)...

Ce problème propose de découvrir quelques aspects de la propagation guidée sur un exemple par-
ticulier de guide d'ondes.

Données utiles et notations

e Célérité de la lumière dans le vide : co = 3,0 x 10 m.s”* ;

e Perméabilité magnétique du vide : ‏مير‎ = 4x 10-7 H,m—* ;

e Conductivité électrique du cuivre : ‏ه‎ = 5,9 x 107 Q-!.m7* ;

e Dimensions du guide d'ondes : à = (22,86 + 0,05) mn, b = (10,16 + 0,05) mm ;

e Fréquence de travail du guide d’ondes : v = 9,67 GHz ;

e Conformément à l'usage courant, les grandeurs complexes seront soulignées ‏ز‎

e i désignera le nombre complexe de module 1 et d’argument 7/2 ;

e Dans tout le problème (W,, W,, 7 ‏(ء‎ désignera une base orthonormée directe attachée au

système de coordonnées cartésiennes (x,y,z).

1°° partie

Modèle de conducteur métallique - Conducteur parfait
Dans cette partie on se propose de préciser la notion de conducteur parfait. Pour cela on part d’un
modèle plus réaliste de conducteur métallique que l’on ne demande pas de justifier et pour lequel :

1. les équations de MAXWELL dans le conducteur ont la même forme que dans le vide, soit

Vu ÉiM 4) — ‏م‎ 110 0)

ŸV mu 7 )11,10( =0 2

Ÿ y x E(M,t) = FE 3 ‏م3‎
‎77

2 dt

p désigne la densité volumique de charge et 7 le vecteur courant volumique. Vi est
» l’opérateur » nabla au point M.

Épreuve de Physique II 1/9 Tournez la page S.V.P.

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2. le conducteur obéit à la loi 41 7 (M,t) = oË (M,t), 2 désignant la conductivité
électrique du conducteur supposée uniforme et constante dans tout le domaine des fréquences
considéré ;

3. la densité volumique de charge est identiquement nulle en tout point du conducteur et à tout
instant p(M,t) =0.

1.1. Effet de peau
1

1.1.1. Dans le cas des champs harmoniques, comparer les deux termes no7 et LE du
0

second membre de l'équation de MAXWELL — AMPÈRE (4) et montrer que, à la fréquence de travail
du guide d’ondes considéré (v = 9,67 GHz), l’un de ces deux termes est négligeable devant l’autre.

1.1.2. En déduire une forme simplifiée de l’équation de MAXWELL — AMPÈRE.

7 M
Vide Conducteur
Vide Conducteur 2
Figure 1 Figure 2

Pour étudier la possibilité d'existence d’une onde électromagnétique à l’intérieur d’un conduc-
teur métallique « réel ‏,ل‎ on suppose qu’un tel conducteur (Figure 1) occupe le demi-espace 2 › 0
de sorte que sa surface plane coïncide avec le plan (rOy). Une onde électromagnétique incidente se
propage dans le vide (z › 0) dans le sens des 2 croissants et arrive au niveau de la surface plane
du conducteur. Elle donne alors naissance à une onde réfléchie dans le vide et une onde transmise
dans le conducteur que l’on cherche à caractériser. L'onde incidente, considérée plane, progressive,
monochromatique et polarisée rectilignement selon 7, est décrite par son champ électrique dont
la représentation complexe s’écrit

On cherche le champ électrique de l’onde électromagnétique transmise à l’intérieur du conducteur
sous forme harmonique, soit en représentation complexe

1.1.3. Par un raisonnement physique qualitatif, s'appuyant éventuellement sur un résultat du
cours, justifier que ‏أن‎ = w.

1.1.4. En exploitant les symétries du système, montrer que l’on peut écrire
1.15. Établir l'équation aux dérivées partielles que doit satisfaire le champ électrique 12, (M)
de l’onde transmise.
1.1.6. En déduire que E, (z) est solution d’une équation différentielle du type

d? LE,

et donner l’expression de k2 en fonction de ‏مر‎ 0 etw.

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1.1.7. Montrer que l'on peut écrire k, sous la forme k, = Lu et donner l'expression de d.
1.1.8. En déduire la solution physique de l’équation (5) tenant compte de la condition aux
limites pour z très grand. On prendra E, (0) = E;° exp —ip ; 1/9 étant une constante réelle positive

que l’on ne cherchera pas à déterminer.

1.1.9. Représenter graphiquement le module de ‏بك‎ (z) en fonction de 2 et donner une in-
terprétation physique de ô, appelée épaisseur de peau, après en avoir déterminé la dimension.

1.1.10. Application numérique : Calculer à pour le cuivre à la fréquence de travail y =
9,67 GHz et commenter la valeur trouvée.

1.1.11. Déterminer l'expression du champ magnétique 5, (M, t) transmis à l’intérieur du
conducteur.

1.2. Modèle de conducteur parfait

L'approximation de conducteur parfait est suggérée par le calcul numérique effectué en 1.1.10.,
elle consiste à prendre à = 0, soit formellement go ‏جب‎ œ.

1.2.1. Dans quel domaine de fréquences est-il plus réaliste de considérer qu’un métal réel se
comporte comme un conducteur parfait ?

1.2.2. Donner les valeurs du champ électrique 2 )11,1( et du champ magnétique 2 (M,t) à
l’intérieur d’un conducteur parfait. Justifier.

1.2.3. Que valent la densité volumique de charge ‏م‎ et le vecteur courant volumique 7 dans
un conducteur parfait ?

1.2.4. Comment seront alors distribués dans un conducteur parfait un éventuel excès de
charges ou un courant ?

On considère une interface vide/conducteur parfait en présence de charges surfaciques ‏وم‎ et de
courants surfaciques j .. On note 77 le vecteur normal sortant du conducteur (Figure 2).

1.2.5.  Enutilisant les notations de la figure 2, donner, sans démonstration, les quatre relations
de passage concernant les composantes tangentielles et normales des champs L et

1.2.6. Comment se simplifient ces relations compte tenu des valeurs de É et B dans le
conducteur parfait.

1.2.7. Les valeurs de ps et 7. étant quelconques, quelles sont en définitive les seules condi-
tions aux limites imposées par un conducteur parfait ?

2ème partie

Structure de l’onde électromagnétique
à l’intérieur d’un guide d’ondes rectangulaire

Le guide d'ondes considéré est constitué de parois métalliques conductrices supposées parfaites. Il
est rectiligne et présente une section génératrice rectangulaire de largeur a suivant l’axe Ox et de
hauteur b suivant l’axe Oy. On supposera que a › b.

L'intérieur du guide est rempli d'air dont les propriétés électromagnétiques seront assimilées à celles
du vide non chargé et sans courant.

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0 a ©
Figure 3 : Guide 1011065 rectangulaire.

On peut montrer, et on l'admettra dans le cadre de ce problème, que le guide d’ondes rect-
angulaire ne peut pas propager des ondes électromagnétiques transverses (champs électrique et
magnétique simultanément orthogonaux à la direction de propagation).

2.1. Onde transverse électrique TE

On cherche à décrire la propagation sans atténuation dans le guide par une onde transverse
électrique ou onde 7'F : le champ électrique est transverse (orthogonal à la direction de propagation
Oz) alors que le champ magnétique ne l’est pas. Cherchant à décrire un phénomène harmonique de
propagation suivant Oz, on écrit les champs en représentation complexe selon

2 (M,t) = Bo (x y) exp i (kyz — wt)

avec

2.1.1. À partir des équations de MAXWELL, établir l’équation de propagation pour le champ
magnétique 5 (M, t) et en déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par By. (x,v).

2.1.2. Cette équation peut être résolue par la méthode de séparation des variables. Vérifier
que By. (r,y) = (A, cos ax + ‏مك‎ sin ax) (By cos By + ‏مه‎ sin By) peut convenir comme solution de
cette équation à condition que ‏وت‎ w, ‏نه‎ et 8 vérifient une relation que l’on déterminera. œ et 8
sont deux constantes que l’on déterminera dans les questions suivantes à l’aide des conditions aux
limites imposées par le guide d'ondes.

2.1.3. À l’aide de projections appropriées des spots de MAXWELL — FARADAY (3) et
MAXWELL — AMPÈRE (4), exprimer ‏ممع‎ en fonction de 22: » kg, w et Co.
2.1.4. Exprimer de même ‏رولا‎ en fonction de Hs , kg, w et co.

2.1.5. En déduire alors les expressions de En, et En, y €N fonction de 7 et y.

2.1.6. Écrire les conditions aux limites imposées par le guide d'ondes à Een =0etx=a
ainsi que celles imposées à ‏مول‎ en y = 0 et y = b et montrer que, mn et n étant deux nombres entiers

TATX nTY

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2.1.7. En déduire la structure du champ électrique pour le mode 7:

‎TU‏ من ‎y MTT‏ ب
‎Eos,mn TT Ann cos a sin b‏
‎in MTX y NTY‏ —
حب ‎cos‏ ميت ‎TRnn Eoy,mn = Brin sum‏
‎Lo. mn 0‏

‎étant deux constantes complexes que l’on exprimera.‏ ,مقط ‎€t‏ مك

‎On peut montrer, et on l’admettra dans le cadre de cette étude, que pour le mode T ‏ممما‎ les entiers m et
n ne peuvent être tous les deux nuls à la fois.

‎2.1.8. Montrer que, pour le mode ‏نم22‎ le module ky,mn du vecteur d’onde FT, =k; 7;

‎dans le guide est donné par

‎ka mn =

‎2.1.9. Montrer que le guide d’ondes se comporte comme un filtre passe-haut de fréquence
de coupure v, pour les ondes électromagnétiques. Donner l’expression de la fréquence de coupure
Ve,mn Pour le mode 77. QUE se passe-t-il si la fréquence de travail v est inférieure à la fréquence

de coupure Ve,mn ?

‎2.1.10.  Exprimer la longueur d'onde dans le guide \,,mn eN fonction de m, n, a, b et de la
longueur d’onde À dans le vide.

‎2.2. Onde transverse magnétique 7 M

‎Le mode transverse magnétique 7'M est le mode de propagation imposant au champ magnétique
d’être orthogonal à la direction de propagation.
Une étude analogue à celle menée en 2.1. donne la structure du champ électrique pour le mode

‎TMmn :
+ Ke c2 “NT
— gamn BE cos EE ç 7
0 ‏ل ل‎ AB, a cos sin 5

‎T Mn 171

‎+ kg mnci NT qi MTTE ‏ب‎
‎1 ‏و- 5111-2605 2مك بس‎

‎1711

‏همل

‎› a ; sn RU
Eoz,mn = A,B2 su css

Où Kg,mn» désignant le module du vecteur d'onde k, = ‏ونا‎ 77 ,, est donné par l’équation (6). On
admettra que, comme pour le mode 14 ‏مم‎ les entiers m et n ne peuvent être tous les deux nuls à la
fois dans le cas du mode TM,n-

‎2.2.1. Montrer que, pour le mode T'M,n, aucun des deux entiers m et 7 ne peut être nul.

‎2.3. Sélection des modes de propagation par le guide d’ondes

‎2.3.1. Exprimer littéralement puis calculer numériquement les fréquences de coupure pour
les modes 21. 1 ‏مدهل .روط‎ T My, et T'Esg.

‎2.3.2. Comment faut-il choisir la fréquence v de l’excitateur pour que l’onde qui se propage
dans le guide soit une combinaison linéaire des modes 1 ‏مر‎ et T'Fzo à l’exclusion de tous les autres ?

‎Épreuve de Physique II 5/9 Tournez la page S.V.P.

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2.3.3.  Exprimer, calculer numériquement puis comparer les vitesses de phase v, (TF0) et
vy (TE20) à une fréquence v' = 14 GHz.

2.3.4. Comparer les temps de parcours des deux modes dans le guide d'ondes. Que peut-on
en conclure quant à la déformation du signal à la sortie du guide d’ondes ?

3ème partie

Guide d’ondes monomode TF9

Un guide d’ondes monomode est un guide où un seul mode (m,n) peut se propager sans atténuation
à l’intérieur du guide d’ondes. On utilise de tels guides pour éviter les problèmes de déformation
du signal rencontrés en 2.3.4.

3.1. Sélection du mode de travail

3.1.1. Montrer qu’un guide d’ondes donné est monomode pour un domaine de fréquences
min; Vmax| que l’on précisera.

La fréquence d'excitation imposée dans toute la suite par le générateur d'ondes électromagnétiques utilisé
estv = 9,67 GHz.

3.1.2. Quel est le mode ainsi sélectionné ?

3.1.3. Quel est l’état de polarisation de l'onde ?

Pour vérifier l’état de polarisation de l’onde, on place (Figure 4) à la sortie du guide d'ondes
une grille constituée de fils métalliques parallèles à une direction Ÿ perpendiculaire à 7 ,, puis un
détecteur sensible à la valeur moyenne temporelle (E?) du module au carré du champ électrique

On pourra considérer la grille comme un ensemble de guides d’ondes en parallèle, de côtés d et D.

Détecteur

Figure 4 : Grille métallique.

Pour d suffisamment faible, on constate que (E*) varie lorsque l’on fait tourner la grille dans
son plan, autour de la direction de propagation 7 ; des ondes.

3.1.4. Comparer le résultat de la mesure lorsque Ÿ est parallèle à W, (grand côté du guide)
et lorsque 7 est parallèle à 17 (petit côté du guide) et interpréter qualitativement.

3.1.5. Quelle loi peut-on illustrer avec ce dispositif ?

Épreuve de Physique II 6/9 Tournez la page S.V.P.

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3.1.6. Pour d trop élevé, (E?) est indépendant de l'orientation de la grille. Interpréter qualita-
tivement cette observation et déterminer la valeur critique de d.

3.2. Mesure de la fréquence

3.2.1. Citer deux appareils de laboratoires utilisés habituellement pour mesurer la fréquence
des signaux électroniques usuels.

3.2.2. Pourquoi de tels appareils ne peuvent-ils plus opérer aux fréquences d’utilisation des
guides d'ondes habituels ?

Pour mesurer la fréquence des ondes guidées, on utilise un onde-mètre constitué d’une cavité
résonante métallique couplée latéralement à une section rectangulaire du guide d’ondes au moyen
d’un orifice de petites dimensions (Figure 5).

Cavité y

Cavité

Guide d’ondes

Figure 5 : Cavité résonante couplée au guide d'ondes.

Pour simplifier l’étude, on considère une cavité de forme parallélépipédique de côtés €, suivant
Ox, ‏ا‎ suivant Oy et ‏وا‎ suivant Oz et on suppose que le métal qui la compose est un conducteur
parfait. L'intérieur est vide.

On adopte pour simplifier dans cette section une théorie scalaire où une onde électromagnétique
est décrite par l'amplitude F (M, t) du champ électrique, sans se préoccuper de sa direction. On
admettra que ce champ doit s'annuler à la surface d’un conducteur parfait.

On cherche des solutions de la forme F = Ep sin k,.x sin kyy sin k, z cos wt.

3.2.3. Quelle relation entre k,, ky, ‏,ونا‎ et w est-elle imposée par l'équation de propagation ?

3.2.4. Montrer que les conditions aux limites imposées à F par les parois de la cavité imposent
une quantification de k,, k, et k, que l’on exprimera en fonction de £,, ‏من‎ £, et de trois nombres
entiers my, 74, et ‏ود‎ On pourra placer l'origine en O' pour simplifier les calculs de cette question
(Figure 5).

3.2.5. Déterminer l'expression de la plus petite pulsation w; de l’onde électromagnétique
pouvant exister dans la cavité (mode fondamental). Calculer numériquement la fréquence ‏رن‎
‎correspondante pour une cavité ayant les dimensions suivantes : £, = £, = 3cm et L, = 2cm.

3.2.6. Expliquer brièvement comment une telle cavité électromagnétique de section donnée
et de longueur €, = ‏ا‎ réglable et mesurable, permet-elle de mesurer la fréquence v de l'onde.

3.2.7. Avec ‏ا = يا‎ = 301 maintenues constantes, quelle valeur faut-il donner ‏ة‎ pour
mesurer la fréquence de travail v = 9,67 GHz ?

Épreuve de Physique II 779 Tournez la page S.V.P.

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3.3.  Couplage du guide d’ondes à une charge

Un guide d’ondes rectangulaire du type précédent de longueur L est fermé complètement en
z = L par une plaque conductrice plane d’épaisseur e et de conductivité électrique o. Le guide
d'ondes est le siège de la propagation d’une onde électromagnétique incidente 777 ‏م‎ décrite par le
champ électrique

2 ٍ
2: (M,t) = E;° sin 7 expi (kyz — et) 7 ‏ن‎ avec ka = (2 ) ( = ) et E; eR

À l'interface air/plaque (en z = L), cette onde donne naissance à une onde réfléchie dans le guide,
décrite par un champ électrique Æ, et une onde transmise dans la plaque décrite par le champ
électrique E;.

Utilisant les résultats des sections précédentes, on cherche ces champs sous la forme

e champ électrique réfléchi :

2

(M,1t) = E,° sin ZE ‏نون‎ (kgz + et) Ÿy
0 ْ

e champ électrique transmis :
2 (M,t) = ‏"بل‎ sin ‏اله‎ exp - 2 expi (5 - 2 Va
3.3.1. On choisit une plaque d’épaisseur e très grande devant l'épaisseur de peau 5 à la
fréquence de travail. Pourquoi ?

3.3.2. En utilisant une équation de MAXWELL appropriée, exprimer les champs magnétiques
incident 2:6 réfléchi 2 et transmis 12, en fonction des variables et paramètres apparaissant dans
les expressions de E;, E, et Es.

3.3.3. À l’aide d’une équation de passage du champ électrique à l’interface z = L, établir une
première relation entre F;°, E,° et E,°.

3.3.4. Justifier brièvement la continuité de la composante tangentielle du champ magnétique à

l’interface z = L et en déduire une deuxième relation entre 275, E,° et E,°.

3.3.5.  Exprimer alors les coefficients de réflexion r et de transmission ‏ع‎ définis par 7 =

3.3.6. On s’intéresse maintenant au champ électrique Ë de l’onde résultant de la superposi-
tion dans le guide )2 › L) des ondes incidente et réfléchie. Exprimer Æ et montrer que sa partie
réelle peut se mettre sous la forme

7 M,t) = E;° sin ae cos (kaz — wt) + T cos ‏عم — ب)‎ — wt)] Ty: (7)
5 9 9 y
r et y) désignent respectivement le module et l’argument de r.

3.3.7.  Exprimer r en fonction de k, et 6.

La figure (6) donne une représentation schématique des variations du champ électrique résultant
dans le guide dans un plan x = constante à un instant t donné.

Épreuve de Physique II 8/9 Tournez la page S.V.P.

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Figure 6 : Représentation schématique des variations du champ électrique dans le guide.

3.3.8. Expliquer, à partir de l’équation (7), pourquoi l’amplitude du champ électrique (courbe
en pointillés de la figure 6) présente-elle des maxima (ventres d’amplitude) et des minima (nœuds
d’amplitude).

3.3.9. En déduire les positions zy des ventres (amplitude ‏لم7‎ Ainsi que les positions zy des
nœuds (amplitude Fin). QuUe vaut la distance À entre deux nœuds consécutifs ?

On appelle Taux d'Ondes Stationnaires (T.O.S.), le rapport

E, nax

E, nin

3.3.10. Exprimer 7 à l’intérieur du guide d'ondes en fonction de r et montrer que la mesure
de 7 permet de déterminer le module r du coefficient de réflexion.

On désire utiliser le montage précédent pour mesurer la conductivité électrique o de la plaque
conductrice placée en bout du guide (z = L). Pour cela on utilise un détecteur d'ondes stationnaires
formé par un segment du guide d’ondes fendu sur la partie médiane de sa face supérieure. Une
sonde constituée d’une antenne et sa diode détectrice y est insérée. Elle délivre à sa sortie une
tension statique À proportionnelle à l’amplitude au carré E? du champ électrique dans le plan de la
sonde. La sonde est déplaçable le long du guide et sa position est repérée avec précision. On mesure
alors : Amax = 98,65 mV, Amin = 0,05 mV,v = 9,67 GHz et À = 2,11 cm.

3.3.11. En déduire directement la valeur numérique de la longueur d'onde À, dans le guide
d’ondes. Cette valeur est-elle en accord avec celle obtenue à partir de l’expression de k, ?

3.3.12. En supposant que ‏قر‎ › 1 (hypothèse a priori) et en ne conservant que les termes
d’ordre le plus bas non nul en ‏,قو‎ exprimer simplement 6 en fonction r et k,.

3.3.13. En déduire le 1.0.5.1 , le module r du coefficient de réflexion, l’épaisseur de peau 6
ainsi que la conductivité o. L'hypothèse a priori de la question 3.3.12. est-elle vérifiée ?

FIN DE L’ÉPREUVE

Épreuve de Physique II 979 FIN

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