نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2017: الفيزياء 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2017 - Filière MP

* On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies.
Il convient en particulier de rappeler avec précision les des
questions abordées.

* Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

* Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème
sont relativement indépendantes entre elles.

Onde ou particule,

le photon défie toujours l’intuition

Un des plus grands succès de la physique du 19ème siècle a été, suite aux
travaux de Young et Fresnel, la compréhension de la nature ondulatoire de la
lumière, puis son identification à la propagation d’ondes électromagnétiques par
Maxwell. Cependant, dès la fin de ce siècle, une série de mystères expérimentaux
vinrent mettre à bas l’élégant édifice de la physique classique laissant la place aux
théories quantique et relativiste. Ces deux révolutions ont pour point commun
d’avoir vu le jour suite à des mesures optiques inexpliquées : l’expérience de
Michelson et Morley dans le cas de la relativité, et l’effet photoélectrique et le
spectre du corps noir pour la mécanique quantique.

En 1900, Max Planck, émet l’hypothèse que les ondes électromagnétiques
transportent l’énergie par paquets, appelés quanta d’énergie. En 1905, Albert
Finstein assimile ces quanta à des particules, de masse nulle et non chargées,
appelées photons, qui se propagent à la vitesse de la lumière. Aujourd’hui, les
progrès technologiques nous permettent d’observer des photons uniques, qui nous
prouvent sans ambiguïté aucune l’existence directe de ces particules.

Dans ce problème, nous aborderons quelques aspects relatifs au
comportement d’un photon associé à une onde électromagnétique.

Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes.

Données :

- Constante de Planck : 1- 6,626.10 77.
- Constante de Planck réduite : h= . =1,05.10-*S/.
- Masse de l’électron : m =0,91.10"" kg.
-  Perméabilité magnétique du vide : u, =4x.107H.m".
- Vitesse de la lumière dans le vide : c=3,00.10%m.s"".
- 1617 1,602.10 7.
- Relations vectorielles : rot (ror(u)) = grad(div(u)) -Au , div(roi(u)) =0 ,
1. Onde électromagnétique dans le vide

Dans un milieu dont les propriétés électriques et magnétiques sont assimilées

Épreuve de Physique I 1/8

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à celles du vide, les champs électrique E et magnétique B sont reliés aux densités
volumiques de charges p et de courants électriques j par les équations de
Maxwell :
‎2 01 01

& Et u, sont respectivement la permittivité électrique et la perméabilité
magnétique du vide.

On rappelle que les champs E et B sont reliés aux potentiels scalaire V et

vecteur À par les expressions : E=-grad(V)- Pr et B=rot(A).

On associe au milieu le référentiel R(O,x,y,z) auquel on associe la base

cartésienne orthonormée (e.,e,,e:). On repère un point M de l’espace par ses

coordonnées cartésiennes x, y et z à l’instant ‏ا‎

1.1. Établir l’équation de la conservation de la charge électrique.
1.2. Etablir les équations (dites équations de Poisson) liants les potentiels V

et 4 aux sources p et j. On rappelle la condition de jauge de Lorentz :

01
011/1 + ‏ورمع‎ - - ٠

On suppose dans la suite de cette partie le milieu non chargé et non
conducteur.
1.3. Déduire des équations de Maxwell, l’équation de propagation vérifiée par
le champ électrique É.
1.4. On considère une onde électromagnétique sinusoïdale de pulsation ‏مه‎ de
fréquence v et de vecteur d’onde 7 . Le champ électrique de cette onde au

point M est, en notation complexe, E(M,t) = E,exp ‏قبا‎ où E, est
0

l'amplitude de ce champ et c la célérité de la lumière dans le vide.
1.4.1. Caractériser le champ électrique de cette onde en précisant la
direction et le sens de propagation, la planéité, l’état de polarisation.

Donner l’expression du vecteur d’onde k. Quelle est l’unité de l’amplitude

1.4.2. Montrer que cette onde vérifie l’équation de propagation déterminée à
la question 1.3 à condition que c, ‏ع‎ et u, soient reliés par une relation que
l’on déterminera.

1.4.3. Déterminer l’expression du champ magnétique B(M,1) de cette onde.

1.4.4. Les ondes électromagnétiques transportent de l’énergie.

1.4.4.1. Déterminer l’expression du vecteur de Poynting 11 de l’onde
envisagée au point M à l’instant /. Quelle est la signification physique de

ce vecteur ? Donner son unité. En déduire sa valeur moyenne ‹II› au

cours du temps. Commenter la direction et le sens de ‹II›.
1.4.4.2. Calculer l’_énergie moyenne ‹dW › qui traverse une surface d’aire S

dont la normale est orientée selon le vecteur e. pendant le temps dt.
1.4.4.3. Déterminer la moyenne au cours du temps de la densité volumique

‹u,, › d’énergie du champ électromagnétique (E,B).

Épreuve de Physique I 2/8

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On considère un faisceau lumineux monochromatique de longueur d’onde
dans le vide À, cylindrique, se propageant dans le vide. La lumière peut être
décrite comme un flux de photons de densité volumique moyenne n se
propageant à la vitesse c. Un photon d’énergie & possède une impulsion, ou

quantité de mouvement, égale à p.

1.4.4.4. L’impulsion ‏م‎ et l’énergie e du photon sont données par les
relations de de Broglie. Rappeler la loi de de Broglie donnant la longueur
d’onde du rayonnement. En déduire le lien entre l'impulsion p et l’énergie
‏ع‎ d’un photon.

1.4.4.5.  Exprimer la quantité de mouvement ôp qui traverse la surface

d’aire S dont la normale est orientée selon le vecteur e. pendant le temps
1.4.4.6. Monter que le résultat de la question précédente est en accord avec

la définition de l’impulsion volumique du champ définie par g= &,E AB
associée au champ électromagnétique ‏م‎ B) ;

1.4.4.7. Le faisceau est homogène de sorte que le nombre n de photons
contenus par unité de volume du faisceau a une même valeur en tout
point. On appelle intensité / du faisceau, l’énergie transmise par le
faisceau par unité de temps et par unité de surface perpendiculaire à la
direction de propagation. Calculer 7 en fonction de n, v, c et h. Établir la
relation entre 1 et l’énergie ‹u,› contenue par unité de volume du
faisceau.

1.4.4.8.  L'’intensité / d’un faisceau lumineux est /=10*W.m”. La longueur
d’onde de la lumière dans le vide est À = 632,8nm . Calculer numériquement
n etl’amplitude E, de l’onde plane progressive associée à cette lumière.

2. Mise en évidence du caractère corpusculaire du photon

Au début du 20ème siècle, le rayonnement du corps noir, l’effet photoélectrique
et l’effet Compton ont été considérés comme des preuves du comportement
corpusculaire de la lumière. Cette partie étudie ces trois phénomènes, leurs
explications traditionnelles en terme de photon.

2.1. Le corps noir et la catastrophe ultraviolette

La théorie classique du corps noir, élaborée à la fin du 19ème siècle, s’appuie
essentiellement sur les équations de Maxwell. Kirchhoff avait établi que la densité
volumique d’énergie u,(v,T) par unité de fréquence devait être une fonction
universelle de la fréquence v de l'onde émise et de la température T du corps.
L’énergie électromagnétique par unité de volume, dans la bande de fréquence
comprise entre v et v+dv est : du=u (v,T)dv .

2.1.1. Montrer que l’équation aux dimensions de u(v,T) est
2.1.2. L’étude menée par Rayleigh et Jeans les a conduit à une relation entre

la densité u,” =u,(v,T) d’un corps noir à la température T et la fréquence v de

l'onde émise. On rappelle qu’en thermodynamique classique, à tout degré de
liberté d’un système à la température T correspond une énergie moyenne de

Épreuve de Physique I 3/8

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l’ordre de k,T où k, est la constante de Boltzmann. Montrer par une analyse
dimensionnelle, que ‏“ثم‎ est nécessairement de la forme : ul” = Ac“v°(k,T}, où

c est la vitesse de la lumière et A une constante numérique inconnue.
Calculer les exposants a, BP, et y.

2.1.3. Montrer que l’expression précédente donnant u” est physiquement
absurde en évaluant l’énergie volumique totale : u"(T)= J, (v,T)dv. La

difficulté provient-elle des hautes ou des basses fréquences ?

2.1.4. La loi de Rayleigh et Jeans a conduit Ehrenfest à parler de
«catastrophe ultraviolette». En quoi consiste cette « catastrophe » ?
2.1.5. En 1896, Wien précisa que u,(v,T) devait être de la forme générale :

u,(vy,T)=u" WT 5 0127 7) est une fonction universelle. Cette fonction
a pour rôle d’éliminer la difficulté liée à la «catastrophe ultraviolette».

Calculer les limites de la fonction / | 7 ) à l’origine et à l’infini.

2.1.6. Wien proposait une formule approchée d’origine expérimentale :

u(v,T)=Bv®e 7 , où a et B sont des constantes. Montrer que ceci implique

pour v—›+o, f | ; est proportionnelle à ve 7٠

2.1.7. En 1900, Max  Planck émet l'hypothèse que les ondes
électromagnétiques transportent l’énergie par paquets, appelés quanta

d’énergie. Il trouva la fonction 7 5 en cherchant à raccorder les formules

de Rayleigh-Jeans et de Wien : f 5 = ‏7م‎ . Montrer qu’on retrouve bien

les limites ci-dessus pour les hautes (v››v,) et basses (v‹‹v,) fréquences.
Exprimer v,.
2.1.8. En quoi l'hypothèse de Planck est-elle révolutionnaire ?
2.2. L’effet photoélectrique : l’existence du photon
En 1905, Einstein introduit l’hypothèse selon
laquelle un champ électromagnétique de fréquence
v est quantifié sous la forme de grains discrets qui
portent chacun une énergie hv. Ces grains furent 0
plus tard appelés photons par le chimiste Gilbert
Lewis en 1926. Cette hypothèse va permettre
d’expliquer très simplement l’effet photoélectrique
observé par Hertz en 1887. Cet effet, décrit dans le figure 1
dispositif de la figure 1, consiste en l’émission
d’électrons par des métaux convenablement éclairés par une irradiation
lumineuse. La cellule photoélectrique est une ampoule où règne un vide poussé, à
l’intérieur de laquelle il y à une cathode et une anode métalliques. On impose une

Épreuve de Physique I 4/8

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différence de potentiel U et on mesure l'intensité Z du courant traversant le
circuit. La cathode éclairée par un

faisceau lumineux monochromatique de fréquence v, I

reçoit une puissance lumineuse incidente moyenne

P. P croissant
La figure 2, donne l’allure de la caractéristique

obtenue pour la puissance P . U, est appelé le

potentiel d’arrêt.

2.2.1. Commenter l’allure de la caractéristique ‏ونا‎ 7
HE). figure 2
2.2.2. Expérimentalement, on constate que l'effet photoélectrique ne se

produit que si la fréquence v est supérieure à une fréquence minimale v, du
rayonnement incident. On appelle travail d’extraction du métal W,, l’énergie
minimale à fournir pour arracher un électron. Exprimer ‏يا‎ en fonction de

2.2.3. On suppose v›v,. Donner l'expression de l'énergie cinétique d'un
électron émis en fonction de v et 7٠

2.2.4. Le métal formant la cathode de la cellule photoélectrique est
caractérisé par un travail d’extraction W,, =2,25eV. On l’éclaire par deux
radiations lumineuses monochromatiques différentes de longueurs d'ondes
respectives À =490nm et À =660nm . La puissance P=9,0.10"W de ces deux
sources de rayonnement est la même.

2.2.4.1. Quelle est la fréquence minimale v, pour que les photons envoyés sur
la cathode puissent extraire des électrons par effet photoélectrique ? Les deux
radiations permettent-elles l'émission d'électrons ?

2.2.4.2. Calculer l'énergie cinétique des électrons émis lorsqu'ils quittent la
cathode.

2.2.4.3. Calculer le nombre N de photons arrivant sur la cathode par unité de
temps pour la radiation permettant l'émission d'électrons.

2.2.4.4. On suppose qu’un photon donne toujours un électron et que tous les
électrons émis par la cathode sont collectés grâce à l’anode chargée
positivement. Sachant que le courant électrique est défini comme étant la
charge électrique traversant la zone entre la cathode et l’anode par seconde,
calculer l'intensité 1 (en valeur absolue) du courant électrique, appelé «
courant de saturation » de la cellule. Exprimer ce courant 7 en fonction de P,
À et des constantes nécessaires.

2.2.4.5. Tracer l’allure du courant de saturation en fonction de la longueur
d’onde du rayonnement incident, pour une même puissance.

2.2.4.6. Le courant de saturation mesuré est /=4,0.10*A, lorsque la cathode

reçoit la puissance lumineuse P=9,0.10"W . On définit le rendement
quantique R, de la cellule photoélectrique comme le rapport entre le nombre

d'électrons émis et le nombre de photons reçus. Calculer R,.

2.2.5. Expliquer clairement quel aspect de l’effet photoélectrique est en
contradiction avec une théorie purement ondulatoire de la lumière, et
pourquoi l'introduction de la notion de photon résout le problème.

2.3. L’effet Compton : la confirmation du photon
En 1923, A.H. Compton met en évidence expérimentalement la nature

Épreuve de Physique I 5/8

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corpusculaire des rayonnements électromagnétiques, et en particulier l’existence
d’un quantum d’énergie « photons » et d’une quantité de mouvement bien définis.

Dans son expérience de diffusion schématisée ci-dessous (figure 3), Compton
bombarde une mince feuille de graphite avec un faisceau de rayons X durs
(longueur d’onde caractéristique À =1pm à Inm). Derrière cette cible, il place un
détecteur de rayons X qu’il peut faire tourner d’un angle 0 par rapport à la
direction des rayons incidents. Compton constate alors que des électrons sont
arrachés de la cible et que les rayons X incidents sont diffusés dans toutes les
directions avec une longueur d’onde À', fonction de l’angle 0, différente de la
longueur d’onde incidente À. Avec une approche relativiste, Compton obtient la
relation, conforme aux données expérimentales : À'=A+A,.(1-cos6), où À. est une

constante que l’on déterminera par la suite.
2.3.1. Expliquer pourquoi la physique classique ne peut pas justifier de tels
résultats expérimentaux.
2.3.2. Quel est l’intérêt de réaliser cette expérience avec des rayons X ?
2.3.3. Comment évolue l’énergie d’un photon dans cette expérience ? Que
peut-on dire qualitativement du signe de Aù=A-A' , appelé décalage
Compton ?

Dans le cadre d’un modèle théorique de collision relativiste élastique,
Compton adopte le modèle suivant : un photon incident constituant le faisceau
incident de rayons X de longueur d’onde À frappe un électron libre du bloc de
graphite au repos dans le référentiel galiléen d’étude.

photon incident

électron

figure 3

On souhaite démontrer l’expression donnant le décalage Compton
Lors de la collision, le photon subit une diffusion d’un angle 0 avec une longueur
d’onde À', alors que l’électron de masse m, initialement au repos dans le

référentiel d’étude s’éloigne dans la direction ‏و‎ avec une quantité de mouvement

On note p=pe: et p'=p'u , avec u=sin0e:+cos0e: , les quantités de
mouvement, e et e' les énergies du photon respectivement avant et après la
collision. De plus, l’électron étant considéré relativiste dans l’expérience, son
énergie totale est donnée par ‏لمج تامامح را‎ . Le système {photon + électron} est
considéré isolé pendant la collision dans le référentiel d'étude.

2.3.4. Écrire la conservation de la quantité de mouvement du système
{photon + électron} au cours du choc. Déduire une première équation entre

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2.3.5. Exprimer la conservation de l’énergie totale du système {photon +
électron} au cours du choc. Déduire une deuxième équation entre À, À' et

2.3.6. Retrouver l’expression du décalage Compton ‏لد‎ donné ci-dessus.

Exprimer la quantité À. et calculer sa valeur numérique. À quel domaine
spectral appartient À ? Commenter.

2.3.7. Expliquer comment l’expérience de l’effet Compton a-t-elle conforté
l’idée que le rayonnement est constitué de particules, les photons 2

3. Caractéristiques d’un photon

3.1. Propagation d’un photon de masse non nulle
Les équations de Maxwell rappelées ci-dessus sont compatibles avec toutes les
expériences réalisées. On souhaite étendre la théorie électromagnétique au cas
d’un photon de masse non nulle dans le vide. On conserve alors les équations de
Maxwell indépendantes des sources et on modifie celles qui en dépendent comme
suit :

2 ‏7ع‎

0

Dans cette écriture, V et A sont les potentiels scalaire et vecteur et n= ‏حب‎ est un

paramètre positif lié à la masse m, du photon (mn, › 0) ;

3.1.1. L’équation de conservation de la charge électrique est-elle
satisfaite suite à la modification des équations de Maxwell ? Montrer alors
que la condition de jauge de Lorentz est une nécessité (et non un choix) dans
le cas d’un photon de masse non nulle pour vérifier l’équation de
conservation de la charge.

3.1.2. Réécrire les équations de Poisson vérifiées par V et A en tenant
compte de la modification des équations de Maxwell.
3.1.3. On suppose que les densités p et j sont nulles. On cherche les

solutions des équations établies dans la question précédente sous la forme
d’ondes planes monochromatiques de vecteur d’onde k et de pulsation © :
Amd een,

3.1.3.1. Montrer, en utilisant la condition de jauge de Lorentz, que le potentiel
scalaire est donné par : V(r.1)= yeah . On donnera l’expression de V, en
fonction de c, w, k, A,

3.1.3.2. On cherche l’expression du champ électromagnétique sous la forme :
E(r,1)= ‏ال‎ et B(,1)= Bye". Déterminer l’expression des amplitudes E,
et B, du champ électromagnétique en fonction de c, ‏دده‎ K, Av.

3.1.3.3. Déterminer la relation de dispersion entre w, k et n. La mettre sous
la forme ‏أو + ثلث - أن‎ et donner l’expression de w,. Exprimer, dans le cas de
l’existence d’ondes progressives, les vitesses de phase v, et de groupe v, de
ces ondes en fonction de c, k et n.

3.1.3.4. On étudie la lumière émise par une étoile située à une distance L du
point d’observation terrestre. On associe cette lumière à deux photons (I) et

(2) de longueurs d’onde respectives À, et À,. Ces deux photons sont émis au

Épreuve de Physique I 7/8

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même instant par l’étoile supposée ponctuelle. On suppose les deux
hypothèses nA, ‹‹1 et ‏يقد‎ ‹‹1 vérifiées. Sachant que la vitesse du photon qui

transporte l’énergie (signal détecté) s’identifie à la vitesse de groupe, calculer
l’écart ‏واد لذ‎ -1 des temps de parcours des deux photons entre l’étoile et le
point d’observation. On se limitera au premier ordre en n°. En déduire la
masse m, en fonction de ‏لذ‎ et des autres données.

3.1.3.5. L'expérience montre que Ar‹10*s pour À, =400nm, À, =800nm et L=10°
année-lumière. Donner une limite supérieure de la masse du photon m, et la
comparer à m, , masse de l’électron. On donne: année lumière :
lal=9,46.105m.
3.2. Polarisation et photon
On modélise un atome par un électron élastiquement lié à son noyau.
L’électron de masse m, est soumis à une onde électromagnétique dont le champ

i(ot-Kkz)

électrique en notation complexe a pour expression : E=E,(e:+iey)e . Les forces
considérées agissant sur l'électron sont :

— Une force de rappel vers le noyau : -maæÿr, où œ, est la pulsation propre

d’absorption d’un photon avec l’atome et r=OM le vecteur position de
l’électron dans le référentiel R(O,e.,ey,e:.t).

- Une force de frottement : — ni , OÙ T est le temps d'interaction d'un photon

avec l'atome.

- La force de Lorentz due à E.
On considère le noyau de l'atome immobile en O dans le référentiel galiléen (R).

3.2.1. Préciser l’état de polarisation de Jl’onde électromagnétique
considérée.

3.2.2. Quelle est l'origine de la force de rappel ?

3.2.3. Justifier que l’on peut négliger la force due au champ magnétique 2

3.2.4. Montrer qu'en régime forcé, r=aË, où a est une constante que l'on
exprimera à l'aide des données du problème.

3.2.5. Établir l’expression de la puissance moyenne ‹P› cédée à l’atome
par l’onde.

3.2.6. Calculer, au centre O de l'atome, le moment moyen de la force

exercée par l’onde sur l’atome. Le mettre sous la forme : › M ›=hye. et
donner l’expression de y.

3.2.7. En déduire que, de point de vue corpusculaire, cela revient à dire
que le photon a un moment cinétique L,=he: qu’il cède à l’atome qui
l’absorbe.

Épreuve de Physique I 8/8

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