نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2012: الفيزياء 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

المملكة المغربية

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique
et de la Formation des Cadres

8

Présidence du concours National commun
Ecole Nationale Supérieure de l’Informatique et d’Analyse des Systèmes

ENSIAS

CONCOURS NATIONAL COMMUN
d’admission dans les Etablissements de Formation d’Ingénieurs

et Établissements Assimilés

Session 2012

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I
Filière : MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 8 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est interdit

page de garde

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Concours National Commun - Session 2012 - Filière MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les | références | des questions abordées.

L'épreuve est constituée de deux problèmes indépendants. Le premier traite quelques circuits de
l'électronique analogique. Le deuxième étudie quelques notions liées au phénomène de polarisation
de la lumière.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Premier problème
Étude de quelques circuits de l'électronique analogique

1** partie
Étude de filtres passifs

1.1. Modélisation linéaire d’un circuit

Le circuit RC de la figure 1 est alimenté par un dipôle actif linéaire modélisé par le générateur
de THÉVENIN, de résistance interne R, et de force électromotrice e(t).

1.1.1. Représenter le schéma du circuit en utilisant la modélisation de NORTON du dipôle actif.
Préciser les grandeurs caractéristiques du modèle.

1.1.2. La tension e(t › 0) est égale à une valeur constante notée F. Déterminer, à l'instant
t = 07, le courant qui traverse le circuit ainsi que les tensions ur et uc aux bornes de la résistance
R et du condensateur C respectivement.

1.1.3. A t = 0, on éteint le générateur, qui devient équivalent à sa seule résistance interne.
Établir l'équation différentielle régissant l’évolution ultérieure de i(t) et faire apparaître la constante
de temps 7 du circuit.

1.1.4. Déterminer l'expression de l’intensité de courant : à l'instant # = 0*.

1.15. Déterminer l'expression de ë(t › 0) puis donner l'allure de la représentation graphique

1.16. On suppose maintenant que le circuit RC de la figure 1 est alimenté par une tension e(t)
sinusoïdale de pulsation w.

1.1.6.1. Quelle sera, en module, l'impédance de charge minimale du générateur +
Sachant que sa résistance interne est R, = 509, à quelle condition pourra-t-on considérer le
générateur comme idéal ?
On suppose cette condition remplie dans la suite.

1.1.6.2. Déterminer la fonction de transfert complexe en tension H si la grandeur de sortie
est la tension s(t) aux bornes du condensateur. Quelle est la nature du filtre ainsi réalisé ? Définir la
pulsation de coupure à —3 dB de ce filtre et donner son expression wc en fonction des paramètres
du montage.

Épreuve de Physique I 1/8 Tournez la page S.V.P.

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Figure 1: Circuit RC alimenté par un générateur Figure 2: Filtre de WIEN.
de THEVENIN.

1.1.6.3. Dans quel domaine de fréquence ce filtre se comporte comme un intégrateur de la
tension d'entrée ?

1.2. Étude d’un filtre du second ordre : filtre de Wien

On considère le filtre de WIEN (W) représenté sur la figure 2 et on suppose qu’aucun courant ne
sorte de ce filtre (32 = 0).
1.2.1. Déterminer la fonction de transfert du filtre : H = a
21
Préciser les paramètres caractéristiques du filtre (amplification maximale, facteur de qualité,
pulsation particulière).

1.2.2. Tracer le diagramme de BODE (gain et phase) associé à H. On fera apparaître sur chacun
des graphes le tracé asymptotique et le tracé réel. Quelle est la nature de ce filtre ?

1.2.3. Montrer que les tensions d'entrée ‏رن‎ et de sortie va sont liées par l'équation différentielle :

du, dv» 9 dv1
2 A = un + 1
22 + 00 2 + 0002 = ‏ون‎ en (1)

Exprimer le coefficient ‏وه‎ en fonction de R et C et déterminer la valeur numérique du paramètre a,
valeur que l'on utilisera ultérieurement.

2ème partie
Étude d’un montage à base d’amplificateur opérationnel
Dans cette partie, on étudie le modèle de l’amplificateur opérationnel (AO) idéal et quelques
limitations à ce modèle. On considère le montage de la figure 3 avec : R, = 1 kQ et Ra = 10 kQ.

‎Modèle d’amplificateur opérationnel idéal‏ .2.1 ض

‎Dans cette section, l'AO du montage représenté sur la figure 3 est supposé idéal.

‎| 2.1.1. Pour un amplificateur opérationnel idéal, tracer la caractéristique de transfert statique,
c'est-à-dire les variations de us en fonction de e. On notera Usat et —U} a les tensions de saturation.

‎2.1.2. Cette caractéristique fait apparaître deux domaines. Nommer et définir ces domaines.

‎2.1.3. Quelle est la résistance d'entrée du montage de la figure 3 formé par 10 et les
résistances R, et R ?

‎2.1.4. En supposant que l’AO fonctionne dans sa zone linéaire, montrer que l’on a us(t) =
Avue(t). Donner l'expression de A en fonction de ‏ال‎ et Ra.

‎Épreuve de Physique I 2/8 ‏هب‎

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Figure 3: Montage amplificateur. Figure 4: Modèle d’AO en petits signaux en
négligeant les dérives.

2.15. Dans quel domaine de tensions ue peut-elle varier sans provoquer la saturation de l'AO ?

2.1.6. Tracer la courbe représentant us en fonction de ue pour ue variant de — U'at à Usat-

2.2. Limites au fonctionnement de l’AO idéal

2.2.1. Comment mesurer expérimentalement les tensions de saturation Usat et — a ?

2.2.2. Le constructeur indique que le courant maximal de sortie (courant de saturation) de l'AO
est de is,maz = 20MA.

On applique à l'entrée du montage ue(t) = Up cos(wt) avec ‏و7‎ = 1,017. Comment choisir la
valeur d’une résistance R, placée en sortie du montage pour garder un fonctionnement linéaire ?

2.2.3. Le système ne reste linéaire que si 0 › 0, 0 est appelé vitesse de balayage limite de

l’AO. Le constructeur indique pour 1 ‏فط‎ précédent : o = 1,0 V/ us.

On applique à l'entrée la même tension qu’au 2.2.2. et on fait augmenter w. Jusqu'à quelle valeur
‏ره‎ de w, us(t) reste-t elle théoriquement sinusoïdale ? Décrire la déformation de us(t) et dessiner
l'allure du graphe us(t), pour des valeurs w › ‏برت‎

On peut se servir de l'apparition de cette déformation pour estimer o, proposer une autre
méthode pour la mesure expérimentale de 0.

2.3. Influence de quelques défauts de l’amplificateur opérationnel réel

On considère un modèle d’AO réel en fonctionnement linéaire où l’on néglige la tension de
décalage et les courants de polarisation (figure 4).

2.3.1. Donner les ordres de grandeur de rg, rs et u des amplificateurs opérationnels couram-
ment utilisés au laboratoire.

2.3.2. On prend ‏ب‎ infinie et u (gain différentiel) fini. Représenter le schéma équivalent du
montage de la figure 3 avec ce modèle de l’AO. Définir puis déterminer l'expression de la résistance
de sortie du montage en fonction de rs, R1, Ra et y.

2.3.3. On considère maintenant ju fini et fonction de la fréquence f de la tension appliquée à
l'entrée, à l'exclusion de tout autre défaut, notamment on prend 7 infinie et r, = 0. On adopte
comme modèle pour le gain complexe :

Épreuve de Physique I 3/8 Tournez la page S.V.P.

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avec j? = —1.
2.3.3.1. Quel est le nom habituellement donné à ce modèle ?
2.3.3.2. Etablir la nouvelle fonction de transfert du montage de la figure 3 et l'écrire :

Donner les expressions de Ho en fonction de ‏مر‎ et A (voir question 2.1.4.) et de fy en fonction de fe,
À et Jo.

2.3.3.3. On prend y = 1,0.10° et f. = 10 Hz.
Donner les expressions approchées de Hy et de fo. Tracer, sur le même graphe, l'allure des
diagrammes de BODE asymptotiques en amplitude pour ju et 2. Interpréter les limitations en
fréquence observées expérimentalement avec le montage de la figure 3.

3ème partie
Étude d’un montage oscillateur

On relie le montage amplificateur de la figure 3 et le filtre de la figure 2 suivant le schéma de la
figure 5.

L'amplificateur opérationnel AO utilisé dans cette partie est supposé idéal. Les tensions de
saturations en sortie de l'AO sont notées Usat et ‏.يوونا-‎ On suppose que la saturation en courant
n’est jamais atteinte.

Figure 5: Montage oscillateur

3.1. Justifier l’utilisation de l'équation (1) et déduire l'équation différentielle liant ue à us.

3.2. Montrer que la tension us est régie par l'équation différentielle suivante :

dus du
2 5

‎re ًَ‏ ع

‎Préciser la condition de validité de cette équation. Donner l'expression du coefficient m en
fonction de A (voir question 2.1.4.)

‎+w3us = 0 2

‎3.3. Montrer que ce montage peut générer des oscillations en l'absence de générateur de fonction
(GBF) pour une valeur de A › Ag. Donner la valeur limite ‏.م‎

‎3.4. Montrer que pour A = Ayo, La tension us est sinusoïdale. Donner l'expression générale de
us(t) et préciser l'expression de sa fréquence f en fonction des paramètres du montage.

‎Épreuve de Physique I 4/8 4

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3.5. Comment doit-on régler pratiquent la valeur de À par rapport à Ay pour qu'il y ait démarrage
des oscillations dans le circuit ? Justifier.

3.6. Est-il possible avec le montage proposé de régler l'amplitude des oscillations ? Pourquoi ?

Deuxième problème
Polarisation de la lumière

Les applications du phénomène de la polarisation de la lumière sont multiples et les dispositifs
associés sont des composants de base dans les domaines de traitement et de transmission de
l'information par voie optique, dans l'affichage à cristaux liquides et dans certains procédés de
cinéma en relief.

Le problème comporte de nombreuses questions qualitatives pour lesquelles le candidat
s’efforcera de répondre avec concision et précision.

1°° partie
États de polarisation d’une onde électromagnétique

1.1. Généralités sur la polarisation des ondes lumineuses

La lumière est une onde électromagnétique située dans le domaine visible du spectre.

1.1.1. La lumière émise par une source classique (appelée par la suite lumière naturelle) est-elle
polarisée ?

1.1.2. Donner un exemple de source d'onde électromagnétique polarisée en précisant l’état de
polarisation de l'onde émise.

1.13. Citer une situation expérimentale dans laquelle il est indispensable de considérer le

caractère vectoriel de la lumière et non seulement une représentation scalaire.

1.2. États de polarisation des ondes électromagnétiques

On définit l’état de polarisation d'une onde électromagnétique à partir de l’évolution temporelle
du champ électrique en un point M donné.

On considère une onde électromagnétique plane progressive monochromatique, qui se propage
dans un milieu assimilé au vide suivant la direction Oz dans le sens des z croissants, dont le champ
électrique s'écrit :

Ë(M, t) = Eos Cos(wt — kz) ‏ىل‎ + Eny cos(wt — kz + p) dy

Env, et En, sont des réels positifs qui représentent les amplitudes des composantes du champ suivant
les directions 02 et Oy respectivement. w est la pulsation de l'onde, k est le module du vecteur
d'onde et ‏م‎ le déphasage entre les deux composantes du champ supposé indépendant du temps.

1.2.1. Pour une valeur quelconque de ‏رص‎ quel est l’état de polarisation de l'onde ?

122. À quelle(s) condition(s) l'onde a-t-elle une polarisation circulaire ? Préciser le cas d’une
polarisation circulaire gauche et le cas d’une polarisation circulaire droite.

1.23. À quelle(s) condition(s) l'onde a-t-elle une polarisation rectiligne ?

Épreuve de Physique I 5/8 Tournez la page S.V.P.

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1.24. Une lumière naturelle non polarisée est envoyée sur un polariseur rectiligne supposé
parfait (P) de direction de transmission Ÿ ‏.لم‎

1.241. Quelle est la direction du champ électrique Ép de l'onde après le polariseur (P) ?

Cette onde arrive sur un autre polariseur (A) identique au premier, souvent appelé analyseur,
dont la direction de polarisation Ÿ 4 fait un angle 0 avec ‏مل‎

1.2.4.2. Quelle est la direction du champ électrique Ex de l'onde après l’analyseur (A) ?
Exprimer le champ É A-

1.2.4.3. En déduire la relation, appelée loi de MALUS, liant l’éclairement lumineux transmis
par l'analyseur © 4 en fonction de celui transmis par le polariseur ®p et l'angle 0.

2ème partie
Interférences en lumière polarisée

Pour aborder cette partie, aucune connaissance préalable sur les lames à retard n’est exigée.

2.1. Action d’une lame à retard sur la lumière polarisée

Une lame à retard est une lame mince à faces parallèles, d'épaisseur e, taillée dans un cristal
uniaxe ayant des propriétés optiques anisotropes. Cette lame agit sur la polarisation d’une onde
lumineuse. Sous incidence normale, la lame est caractérisée par deux indices de réfraction n, si
l'onde incidente est polarisée suivant Ox, et n, si elle est polarisée suivant Oy. Les axes Ox et Oy
sont appelés les axes neutres de la lame (figure 1).

Une onde plane monochromatique polarisée rectilignement suivant la direction Ÿ, faisant un
angle ‏به‎ avec ‏له‎ ,, arrive sur la lame sous incidence normale. L'origine 0 est prise au niveau de la
première face de la lame. Le vecteur d'onde et la longueur d'onde dans le vide sont respectivement

notés K et À. Le champ électrique de l'onde pour z ‹ 0 est noté :
E = Ep cos(ut — kz)

2.1.1. Le champ électrique est-il continu en z = 0 et en z = 9 Justifiez.

2.1.2. L'onde incidente est polarisée selon 76 (a = 0).

2.1.2.1. Établir l'expression du champ électrique de l'onde pour 0 › z › e. On exprimera la
phase en fonction de w, t, n,, k et z.

2.1.2.2. Établir l'expression du champ électrique de l'onde pour z › ‏م‎

2.1.3. L'onde incidente est maintenant supposée polarisée selon ‏ه) ول‎ = 7/2).
Donner les expressions du champ électrique de l'onde pour 0 › z › e et pour z › e.

| 2.14. On suppose maintenant que l’onde incidente est polarisée rectilignement dans le plan .
zOy selon une direction quelconque (0 › a › 7/2).

2.141. Établir l'expression du champ électrique de l’onde pour z › ›

2.1.4.2. Montrer que le déphasage avance ç de la composante selon ‏.ول‎ du champ électrique
sur sa composante selon ‏ل‎ est donné par :

‎SE (ny - na) 8‏ دم

‎Épreuve de Physique I 6/8 ‏يه‎

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PM Lammel Lamme 2

Figure 1: Lame à faces parallèles. Figure 2: Système interférentiel en lumière po-
larisée.

2.2. Lame à retard entre deux polariseurs

On considère une lame à retard à faces parallèles d'épaisseur e, caractérisée par An = |nz — Ny|.
Cette lame est placée entre un polariseur (P) et un analyseur (A). Les lignes neutres de la lame sont
Oz et Oy. Les directions de transmission du polariseur et de l’analyseur font avec Oz les angles ‏ه‎
‎et 8 respectivement.

Le système est placée dans un milieu assimilé au vide et éclairé, par une source de lumière
blanche, en rayons parallèles et sous incidence normale. On néglige l'absorption due à la traversée
de la lame et des polariseurs successifs.

À la sortie du polariseur, on note que le champ électrique associé à une vibration monochroma-
‏ض‎ tique de pulsation w a pour expression :

| ‏ب[‎ 720 cos(wt)

On ne tient pas compte du retard de phase dû à la propagation et on note À la longueur d'onde dans
le vide de la vibration lumineuse considérée.
Le champ électrique à la sortie de la lame peut être écrit sous la forme :

› Ep cos(œ) cos(wt) + En sin(œ) cos(wt — p)dy
est donné par la relation (3).
2.2.1. Déterminer l'expression du champ électrique à la sortie de l’analyseur (A).
2.2.2. Montrer que l'intensité de la lumière transmise par l’analyseur s’écrit sous la forme :
Ip étant l'intensité transmise par le polariseur.
2.2.3. Interpréter les cas particulier œ = 0 et œ = 2.

On supposera dans la suite que le dispositif est éclairé en lumière blanche et on se placera dans
le cas œ = x/4.

2.2.4. Simplifier l'expression de l’intensité lumineuse transmise par l’analyseur (relation 4).

2.2.5. On place un écran après l’analyseur. Décrire ce que l’on pourra observer sur cet écran
quand on fait tourner l'axe de transmission de l’analyseur (A).

Épreuve de Physique I 7/8 Tournez la page S.V.P.

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2.2.6. Spectre cannelé

On fixe l'analyseur tel que son axe de transmission soit parallèle à celui du polariseur (œ = ‏م‎ =
T/4) et on analyse la lumière émergente par un système dispersif (un prisme par exemple).

2.2.6.1. Montrer que le spectre de la lumière à la sortie du système présente une série de
bandes noires appelé spectre cannelé.

2.2.6.2. Application numérique : On donne e = 250 um et An = 10-2. Déterminer les longueurs
d'onde correspondantes aux cannelures du spectre visible.

2.3. Dispositif à deux lames

On considère à présent un montage constitué d’un ensemble de deux lames cristallines de même
matériau caractérisé par An = |nz — ny|, d’épaisseurs respectives e et 2e et dont les axes rapides (et
donc aussi les axes lents) sont alignés (voir figure 2). Les deux lames sont séparées par un polariseur
rectiligne idéal P; dont la direction de transmission privilégiée fait un angle de 45° avec les lignes
neutres des deux lames.

L'ensemble est placé entre deux polariseurs Py et P, dont les directions de transmission
privilégiée sont parallèles à celle du polariseur intermédiaire P,. Le dernier polariseur P› joue le
rôle d’analyseur.

2.3.1. En utilisant les résultats de la section 2.2, écrire l'expression du champ électrique à la
sortie du polariseur P, .

2.3.2. Déterminer les expressions du champ électrique à la sortie de la deuxième lame d’une
part, et à la sortie de l’analyseur P» d'autre part.

2.3.3. En déduire l'intensité lumineuse / transmise par le système (à la sortie du polariseur Pz)
en fonction de l'intensité 1 transmise par le polariseur À et de ç.

24. Étude d’un système à N lames

On considère maintenant un système identique à celui de la figure 2 mais constitué d’un ensem-
ble de N lames cristallines séparées par des polariseurs. Ces lames ont les épaisseurs respectives : e,

On montre que l'intensité 1 transmise par le système, à la sortie du polariseur Py, s’écrit sous la
forme :

1 sin“(Nyp/2)

‎UE‏ ور دا
(2/م) دنع 072

‎2.4.1. Vérifier que la relation (5) est compatible avec celle que avez établi à la question 2.3.3.
dans le cas N = 2.

‎2.4.2. Tracer l'allure de la courbe 7 = f(p). Commenter.

‎2.4.3. Application numérique : e = 250 um et An = |nz — ny| = 10-2. Calculer les longueurs
d'onde transmises dans le visible en supposant An = |nz — n,| indépendant de la longueur d'onde.
Quelles sont les couleurs correspondantes ? Donner une application pratique de ce dispositif.

‎FIN DE L'ÉPREUVE

‎Épreuve de Physique I 8/8 FIN

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