نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2008: الفيزياء 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun

École Nationale des Industries Minérales
ENIM

Concours National Commun d'admission

aux Grandes Ecoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2008

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Filière MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 8 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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L’énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.
L'usage de la calculatrice est aAUtorisé.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les | références | des questions abordées.

Quelques manifestations des transferts thermiques

Le présent problème propose d'aborder quelques applications des transferts thermiques. La plus
grande importance sera accordée au sens physique des résultats obtenus. Le problème est composé
de trois parties indépendantes entre elles.

Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres
significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagnée de son unité dans le système international des unités (SI).

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

1%° partie

Thermodiffusion dans une barre

On considère une barre (figure 1) solide, homogène et isotrope, indéformable, de longueur L et
de section droite circulaire de rayon a très inférieur à L. La barre a une capacité thermique massique
cet on note ‏نر‎ la masse volumique du matériau qui la constitue. Pour isoler la barre latéralement,
on l'entoure d’une enveloppe athermane non représentée sur la figure. On peut donc négliger toute
fuite thermique par la surface latérale de sorte que la température est uniforme sur une section
droite de la barre et ne dépend donc que de son abscisse x et du temps t.

La barre est siège d’un phénomène de diffusion thermique ou conduction décrit par le vecteur

4
courant thermique diffusif jo(M,t) = j(x,t) Un. À, estle vecteur unitaire de l'axe Ox.

Figure 1: Barre solide calorifugée latéralement.

1.1. Équations générales

1.1.1. Rappeler la signification physique de Fe(M, t) et déterminer sa dimension physique
ainsi que son unité dans le système international des unités (S.L.).

1.1.2. En faisant un bilan thermique sur le tronçon de la barre compris entre les sections 2
et 7 + dx entre les instants ‏ا‎ et 2 + dt, montrer que les variations temporelles de l’énergie interne

Épreuve de Physique I 1/8 Tournez la page S.V.P.

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volumique u de la barre sont reliées aux variations spatiales du vecteur courant thermique diffusif
par :

Ou(z,t) 0jÿ(x,t)

Ôt 92

1.1.3. Rappeler la loi de FOURIER et déterminer l’unité 5.1. de la conductivité thermique À du
matériau constituant la barre solide. En déduire l’expression de ÿ(x,t).

1.1.4. Exprimer l'énergie interne volumique w(x, t) en fonction de c, 7(t), et d’une éventuelle
constante additive 0٠

1.1.5. En déduire l’équation aux dérivées partielles vérifiée par T'(x,t).

1.1.6. Montrer que l’équation précédente, dite équation de la chaleur, peut se mettre sous la
forme :

2122: t) 1 OT(x,t)

022 D Ut 0)

et donner l’expression du coefficient de diffusion thermique D en fonction de y, c et À. Donner la
dimension de D ainsi que son unité S.I.

1.2. Régime stationnaire

Les extrémités x = 0 et r = L de la barre sont mises en contact avec deux sources isothermes de
chaleur de températures respectives T, = T'(0) et T2 = T(L). Si l’on attend suffisamment longtemps,
un régime stationnaire s’établit.

1.2.1. De quelle variable dépend la température 7' dans un tel régime ? En déduire l'équation
différentielle vérifiée par T'(x).

1.2.2. Déterminer l’expression de 7'(x) en fonction de 7’, T›, Let x. Représenter graphiquement

1.2.3. En déduire l'expression du vecteur courant thermique diffusif ‏ور‎ dans ce cas. Com-
menter le résultat obtenu.

1.3. Régime transitoire

On s’intéresse au régime transitoire qui précède le régime stationnaire étudié au $1.2. La figure
2 donne les profils de température 7'(x, t) au sein de le barre en fonction de x à différents instants ©
Initialement, tous les points de la barre sont à la même température 70.

1.3.1. Par lecture directe du graphique, déduire les valeurs des températures 1 et 7» des deux
extrémités de la barre ainsi que la température initiale 10 de la barre.

1.3.2. Dans une autre expérience, la barre a une température initiale uniforme ‏و0‎ = 20°C égale
à la température ambiante. L'extrémité gauche de la barre (x = 0) est brusquement mise, à l'instant
t = 0, en contact avec une source isotherme de chaleur de température constante 0, = 10090 tandis
que l’autre extrémité (r = L) est maintenue à la température ambiante 04 = 20°C.

1.3.2.1. Proposer un moyen pratique pour maintenir l'extrémité droite de la barre (x = L) à
la température ambiante.

Épreuve de Physique I 2/8 ‏ب‎

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Figure 2: Profils de température à différents instants au sein d’une barre de longueur L= 1 m.

1.3.2.2. Tracer qualitativement les profils de température au sein de la barre à différents
instants montrant l’évolution de la température des différents points de la barre depuis l’instant
initial jusqu’à l’établissement du régime stationnaire.

2ème partie

Contacts thermiques

On cherche à expliquer, à l’aide de deux modèles différents, pourquoi un observateur touchant
une table en bois et une table en acier à la même température a la sensation que le bois est plus
chaud que l'acier.

2.1. Modèle statique

Dans le cadre du modèle statique, on considère deux cylindres C, et Ç, de même section S, de
même axe Or, de conductivités thermiques respectives À; et À, et de longueurs respectives Ly et
La. Les deux cylindres sont mis bout à bout, le contact se faisant en x = 0 (figure 3). On maintient
les extrémités 7 = — L, et x = La aux températures respectives T, et T2. On suppose que le régime
stationnaire est établi et on note 70 la température en x = 0.

0 9
M, Hi, © A2, H2, C2
T, T3
L1 0 L

2

Figure 3: Deux cylindres en contact en x = 0.

2.1.1. Exprimer la température T;(x), à = a,b, dans chacun des deux cylindres C, et ‏رغ‎ en
fonction de x, 10 et respectivement (T,, L1) et (T5, La).

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2.1.2. Exprimer le vecteur courant thermique diffusif En (x) dans chacun des deux cylindres.

2.1.3. En déduire la température Ty de l'interface 7 = 0 des deux cylindres en fonction ‏ب عل‎
15, ‏مما‎ La, ‏وا‎ et ‏وي‎

2.14. La température de la main est 0, = 37°C. Calculer Tÿ pour un contact main-bois puis Tÿ
pour un contact main-acier dans les deux cas suivants et conclure :

e 09 = 100°C (sensation de chaud) ;
e (9 = 10°C (sensation de froid).
On prendra L, = La et on utilisera les valeurs suivantes des conductivités thermiques :

corps main bois acier

Commenter les résultats obtenus.

2.2. Modèle dynamique

On considère que les deux cylindres sont illimités et emboîtés en x = 0. Le cylindre Ca s’étend
de —oo à x = 0 et le cylindre ‏رن‎ de x = 0 à +oo.

Initialement (# = 0) le cylindre C, est à la température 7, uniforme et le cylindre ‏ىل‎ à la
température 7, uniforme également. Aux instants à › O0, les extrémités des cylindres sont main-
tenues à températures constantes : T(—oo,t) = 1 et T(+oo,t) -

On note ‏برا‎ c; et ‏صر‎ respectivement la conductivité thermique, la capacité thermique massique
et la masse volumique pour le cylindre C,. Les mêmes grandeurs physiques sont notées respective-
ment À», ca et ‏مر‎ pour le cylindre Cp.

2.2.1. Dans chacun des deux cylindres, la température T'(x,t) est solution de l'équation de la
chaleur (1) où D = \/u c. On peut montrer, qu’en fait, le champ de température ne dépend que de
la variable composée :

L'équation de la chaleur devient alors! :

du? du

Montrer que dans chacun des deux cylindres le champ des températures T'(x, t) peut se mettre
sous la forme :

où À et B sont deux constantes et erf est la fonction erreur définie par :

2 u

On donne : erf(--oo) = —erf(-oo) = 1.

On ne demande pas d’effectuer ce calcul dans le cadre de cette étude.

Épreuve de Physique I 4/8 ‏ب‎

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2.2.2. En utilisant les conditions aux limites spatiales adéquates, déterminer les expressions
(A1, B1) pour le cylindre ‏من‎ et (As, Ba) pour le cylindre C; des constantes À et B en fonction de Ty,

2.2.3. Montrer que dans le cylindre C,, l’expression du vecteur courant thermique diffusif peut
se mettre sous la forme :

2
›(a) 0 ‏771ص‎ x À
1 ) ( 0 1) 771 1 ( via) æ
et donner l’expression de l’effusivité Æ, en fonction de ‏ور بيذ‎ et ‏تن‎ En quelle unité exprime-t-on F,
dans le 5.1.7 4, étant le vecteur unitaire de l’axe Ox.

2.2.4. Déterminer de même, l’expression du vecteur courant thermique diffusif dans le cylindre
Cp et donner l’expression de La.

2.2.5. En déduire l’expression de la température d'interface 10 en fonction de 1, 15. F1 et Es.
Comparer avec le résultat obtenu dans le cadre du modèle statique.

2.2.6. Répondre aux questions du 52.1.4. dans le cadre du modèle dynamique et conclure. On
donne :

corps main bois acier
E(105xS1L)] L8 04 14

2.3. Pour disposer d’eau fraîche à boire, deux bouteilles de 1 litre chacune sont placées dans un
frigo où règne une température de 5°C environ. L'une des deux bouteilles est en verre, l’autre en
plastique.

Au moment de se servir au frigo, que l’on suppose en équilibre thermodynamique, on se rend
compte qu’au toucher, la bouteille en verre est plus froide que la bouteille en plastique.

L'eau contenue dans la bouteille en verre est-elle plus fraîche ? Expliquer.

3ème partie

Analogies thermoélectriques

3.1. Résistances thermiques

L'étude de la partie 1 a montré qu’en régime stationnaire, la température 7'(x) au sein d’un
milieu unidimensionnel de longueur L et dont les extrémités sont maintenues à des températures
différentes Ty = T'(0) et T, = T(L) est donnée par la loi linéaire suivante :

On note ®f, le flux thermique conductif à travers la section droite S perpendiculaire à Ox.

3.1.1. Déterminer l’expression de © ‏نّ‎ et montrer que l’on peut écrire 2)0( — T(L) = 70 ‏سام‎
‎R£, est appelée résistance thermique de conduction que l’on exprimera en fonction de À, L et S.

3.1.2. Une analogie entre les grandeurs électriques et les grandeurs thermiques peut être
dégagée sur la base des lois de FOURIER et d'’'OHM.

3.1.2.1. Donner la loi d’OHM locale et rappeler la signification physique des différentes
grandeurs qui y figurent. Quelles sont ses conditions de validité.

3.1.2.2. En déduire l’analogie qui existe entre les grandeurs de conduction thermique et de
conduction électrique. On précisera en particulier les équivalents électriques de ®;, et 7 (0) — 7'(L).

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3.1.3. Quel est l'équivalent en terme de conduction thermique, de deux résistors montés en
série puis celui de deux résistors montés en parallèle ? On donnera dans chaque cas l’expression de
la résistance thermique équivalente.

3.1.4. Lorsqu’un corps solide à la température 7 est plongé dans un fluide ambiant de
température 7,, Un transfert conducto-convectif a lieu au niveau de la surface du corps solide. Dans
le cadre de la loi de NEWTON, un tel transfert peut être caractérisé par une résistance thermique de
convection R,,. En déduire l’expression du flux thermique conducto-convectif © ‏ب‎ compté positive-
ment dans le sens sortant du corps. On exprimera ©) en fonction de Rf;, T'et Te

3.1.5. On considère à présent un corps solide à la température 7' placé dans un environnement
ambiant de température 7, On s’intéresse aux échanges thermiques par rayonnement.

3.1.5.1. Écrire la loi de STEPHAN pour le corps solide et pour l’environnement ambiant. On
notera o la constante de STEPHAN.

3.15.2. En déduire l’expression du flux thermique radiatif total ©. échangé par le corps
solide avec le milieu ambiant, compté positivement dans le sens sortant du corps solide, en fonction
de o, 7’, T, et la surface S du corps solide.

3.1.5.3. Montrer que dans le cas d’un faible écart de température entre le corps solide
et le milieu ambiant, l’échange thermique par rayonnement peut être décrit par une résistance
thermique de rayonnement R/, que l’on exprimera en fonction de o, T4, et S. On rappelle l’identité

3.15.4. Calculer numériquement R}, pour un corps solide de surface S = 1,5 m? placée
dans l’air ambiant à la température 7, = 298 K. On donne la constante de STEPHAN à =
5,67x10-5 117 ‏2164م‎

3.2. Bilan thermique du corps humain

L'être humain, ainsi que d’autres animaux, a la capacité de maintenir constante la température
interne de son corps ; c’est l'homéothermie. On se propose dans cette section d’étudier le maintien
de l’'homéothermie chez un individu debout, nu et au repos tout en étant exposé à la température
confortable 0, = 23°C du milieu ambiant, supposé être de l’air ambiant. La surface du corps humain
S = 1,5 m° sera supposée isotherme de température 0 = 33°C.

Les échanges au niveau de la surface du corps humain ont lieu selon les trois mécanismes
suivants :

— transfert conducto-convectif caractérisé par une résistance thermique R}; = 167x10-3 KW! ;
— transfert radiatif caractérisé par une résistance thermique R;, = 133 x 10-3 KW} ;

— évaporation thermique d’une masse moyenne m, = 0, 3 kg/jour d’eau par la peau et les voies
respiratoires.

La production métabolique journalière (PMJ = 13 MJ/jour) permet de compenser ces pertes.

3.2.1. On se place tout d'abord en régime stationnaire.

3.2.1.1. Calculer numériquement la puissance métabolique Py développée par le corps
humain, le flux thermique ‏نل‎ émis par rayonnement ainsi que le flux thermique ®;; émis par
convection.

3.2.1.2. Calculer numériquement la puissance P. nécessaire pour entretenir l’évaporation
thermique de l’eau sachant que la chaleur latente de changement d’état de l’eau vaut L =

Épreuve de Physique I 6/8 ‏جب‎

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3.2.1.3... ‏صظ‎ déduire, à l’aide d’un bilan, la puissance résiduelle P,. À quoi sert-elle ?

3.2.1.4. Donner l’équation algébrique reliant les différentes grandeurs électriques du circuit
représenté figure 4 dans le cas où les courants débités par les deux générateurs de tension sont
négligeables.

Figure 4: Circuit électrique.

3.2.1.5... En déduire, en s'inspirant de l’analogie thermoélectrique développée au 83.1.2., que
le circuit précédent permet de traduire le bilan thermique du corps humain. Pour obtenir le circuit
thermique équivalent, on recopiera le circuit de la figure 4 et on remplacera les grandeurs électriques
par leurs équivalents thermiques convenables.

3.2.1.6. Déterminer, pour le circuit thermique ainsi obtenu, la représentation équivalente de
NORTON ainsi que celle de THÉVENIN du réseau électrique vu des points À et B, et excluant les
équivalents thermiques des générateurs de tension V, et V. Vérifier, dans chaque cas, que l’on
retrouve bien le bilan thermique établi auparavant.

3.2.2. On se place à présent en régime quasi stationnaire et on note ‏.ل‎ = C/S la capacité
thermique surfacique du corps humain. On suppose que la température 7'(t) de la surface S du
corps humain est toujours uniforme.

3.2.2.1. En faisant un bilan énergétique entre les instants £ et t-+dt, montrer que la température
T'(t) de la surface du corps humain est solution d’une équation différentielle du type :
‏171ل‎ T-T

On exprimera les deux constantes 7 et À en fonction de C, 10 ‏ىرط ى‎ Pms Pe et Ps

3.2.2.2. Comment retrouve-t-on le cas stationnaire à partir l’équation (2) ? Les résultats sont-
ils compatible avec ceux du 83.2.1. ?

3.2.23. Dessiner le schéma du circuit thermique traduisant le bilan thermique du corps
humain en tenant compte de sa capacité calorifique. Pour cela, on écrira le bilan thermique sous
une forme adéquate permettant de justifier un tel schéma équivalent.

3.2.2.4. Résoudre l'équation différentielle (2) pour déterminer l’évolution de la température
T'(t) de la surface du corps humain au cours du temps t. On exprimera le résultat en fonction de t,
Tas À, 7 et T (0) température de la surface du corps humain à l’instant initial + = 0.

3.2.2.5... Déterminer l’expression de la température d'équilibre 7, de la surface du corps
humain en fonction de 74, À et 7. Calculer numériquement 1.

Épreuve de Physique I 7/8 Tournez la page S.V.P.

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3.2.2.6. Représenter graphiquement T'(t) en distinguant les trois cas :

À quelle situation physique correspond chacun de ces trois cas ? Montrer comment, le cas échéant,
on peut déterminer 7 à partir des graphiques obtenus.

3.2.2.7. Sachant que dans l’eau, un corps humain se refroidit environ 25 fois plus rapidement
que dans l'air calme, estimer la résistance convective R;; ‏له مى‎ admettant que la résistance ther-
mique de rayonnement n’est pas modifiée. Commenter.

3.3. Effet des vêtements sur le bilan thermique du corps

On revient en régime stationnaire et on s’intéresse à l’effet des vêtements sur le bilan des
échanges thermiques entre un corps humain et le milieu ambiant.

La surface d’un corps humain habillé est recouverte à 80%. Dans toute la suite, on néglige
la convection et le rayonnement à travers les vêtements mais on tient compte de la conduction
thermique à travers ces vêtements.

3.3.1. Comment faut-il modifier les valeurs des résistances thermiques Rf; et R;, ? On notera
T0

en 2 sites 2 ce,
Rx. et R,;, les nouvelles résistances. Calculer numériquement R,;, et R,,, -

3.3.2. Montrer que pour tenir compte de l’effet des vêtements, il faut aussi introduire, dans le
schéma électrique équivalent du $3.2.1.5., une résistance thermique supplémentaire R,;".

3.3.3. Donner le nouveau schéma du circuit thermique.

3.3.4. En déduire la valeur de la résistance thermique des vêtements R,;; conduisant à la même
puissance du métabolisme et à la même température 0 = 33°C, dans une pièce à la température

FIN DE L’ÉPREUVE

PHYSIQUE. 8/8

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