نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2007: الفيزياء 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l’Éducation Nationale, de l'Enseignement
Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun 2007
École Nationale Supérieure d’Électricité et de Mécanique
ENSEM

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d'Ingénieurs ou Assimilées
Session 2007

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Durée 4heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 5 pages au format AA en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit

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Concours National Commun - Filière MP - Session 2007

Conduction électrique sous champ magnétique

Le problème propose l'étude de quelques aspects de l'influence d’un champ magnétique sur la
conduction électrique. Il est constitué de trois parties largement indépendantes entre elles. La partie
1 traite de l’effet HALL et de son application à la mesure d’un champ magnétique. La partie 2 étudie
la modification de la loi d'OHM en présence d’un champ magnétique. Un résultat donné dans cette
partie est utilisé dans la dernière partie pour étudier l'effet de magnéto-résistance dans la géométrie
de CORBINO.

Dans les applications numériques, qui ne doivefit pas être négligées, une attention partiCulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres signi-
ficatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être accom-
pagnée de son unité dans le système international des unités (SD).

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Dans tout le problème, le poids des particules chargées sera négligé devant les actions électriques
et magnétiques.

Données utiles

Nombre d’AVOGADRO : N4 = 6,02 x 10?*mol”*.
Charge élémentaire : e = 1,6 x 10-!C.

— Masse volumique du cuivre : ‏م‎ = 8,98 x 10*kg.m7*.

Masse molaire du cuivre : M = 63,5 x 107#kg.mol”".

Première partie
Sonde à effet HALL

On considère une plaque conductrice ou semi-conductrice P allongée selon l’axe Ox, de largeur
a et d'épaisseur b. Elle est parcourue par un courant d’intensité 1. › 0 réparti uniformément sur
toute la section droite de P (figure 1). La plaque P peut être soumise à un champ magnétique
extérieur uniforme et constant D = 107. parallèle à l'axe Oz. On négligera alors le champ

magnétique créé par les charges de P en mouvement.

1.1. En l’absence de tout chämp magnétique extérieur (B = 0), exprimer le vecteur courant -+
électrique 7 et tracer les lignes de courant correspondantes.

La plaque P est à préseht soumise au champ 7 dirigé dans le sens des z croissants (B › 0). On
admet qu’en régime établi, les lighes de courant restent des droites parallèles à l’axe Ox.

PHYSIQUE. 1/5

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Concours National Commun - Filière MP - Session 2007

FiG.1—
Ruban conducteur dans un champ magnétostatique

1.2.  Onconsidère un porteur mobile de charge q (algébrique) animé d’une vitesse 7= vT,

1.2.1. Exprimer la force de LORENTZ 7 agissant sur le porteur de charge. Quel est l'effet de
cette force sur le porteur de charge ?

1.2.2. Montrer qu’il en résulte une accumulation de charges opposées sur certaines faces de
la plaque que l’on précisera à l’aide d’un schéma. On distinguera, pour le sens du courant ‏و7‎ donné
figure 1, les cas q › ‏و0661‎ › 0.

On se place dans la suite en régime établi.

1.2.3. En déduire qu’un champ électrique En dit de HALL, prend naissance au sein du
matériau pour s'opposer à l’effet de f , . Donner l’expression de 2 d'abord en fonction de ‏و‎

et 71 puis en fonction de v et B en précisant sa direction et son sens.

1.2.4. Montrer qu’en régime établi, une différence de potentiel V, = V4 — Vo prend naissance
entre les faces À et C de la plaque et exprimer Vh en fonction de v, a et B. Quel est le signe de la
tension V, appelée tension de HALL ? Dépend-il de celui de q ?

1.2.5. Exprimer la tension de HALL V, en fonction de Iy, B, b et de la constante de HALL
R, = 1/ng. n étant le nombre de porteurs de charge par unité de volume.

1.3. Applications

1.3.1. . La plaque P est constituée de cuivre métallique. On note p et M respectivement la
masse volumique et la masse molaire du cuivre. On admet que chaque atome de cuivre met en jeu
un seul électron de conduction.

1.3.1.1. Donner l’expression de n en fonction de ‏,م‎ M et du nombre d'’'AVOGADRO N,. En
déduire la valeur numérique de n.

1.3.1.2. Donner la valeur numérique de la constante de HALL R, correspondante.

13.13. Calculer la tension de HALL V, pour un champ magnétique 2 = 1T, une intensité
de courant /y = lA et une épaisseur b = 0,1mm. Commenter ces valeurs numériques.

1.3.2. Les sondes de HALL utilisées au laboratoire pour mesurer les champs magnétiques
sont constituées d’un matériau semi-conducteur.

1.3.2.1. Pourquoi utilise-t-on un matériau semi-conducteur ?

2/5 PHYSIQUE.I

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PHYSIQUE!

1.3.2.2... Que mesure-t-on dans la pratique ? Comment fait-on pour remonter à la valeur du
champ magnétique ?

Deuxième partie
loi d’OHM anisotrope

On considère un matériau conducteur comportant n porteurs de charge par unité de volume.
Tous les porteurs de arge ont la même charge q. Le matériau est soumis à l’action d’un ‏وحجيع‎

magnétique extérieur 5 uniforme et permanent. Sous l’action d’un champ électrique permanent
le matériau devient alors siège d’un courant électrique caractérisé par le vecteur courant électrique

1. Pour tenir compte de l’action du matériau sur les porteurs de charge, on considère que ces

derniers sont soumis à une force du type collisionnel 7; donnée par :
772
‏الحا احا‎ 1

où 7 est la vitesse des porteurs de charge et m leur masse. 7 est une constante caractéristique des
collisions entre les porteurs et le réseau cristallin qui constitue le matériau.
Toute l’étude sera faite dans l’hypothèse d’un régime permanent.

2.1. Quelle est la dimension de 7 ?
2.2. Exprimer j en fonction de n, q et 1

2.3. En appliquant la deuxième loi de NEWTON en régime permanent, montrer que le vecteur

courant électrique j est relié aux champ électrique 7 et magnétique B par :
2-7 +RBxT (2)

où o et R, sont respectivement la conductivité électrique et la constante de HALL que l’on
exprimera en fonction de n, ÿ, m et 7.

2.4. L'axe Oz est choisi pour être celui du champ magnétique : 5 =BT,

2.4.1. En projetant convenablement la relation (2), exprimer les composantes ‏زر‎ jy et j. du
vecteur courant électrique j en fonction de E,, Ey, Ez, 6 ‏وم ا‎ = qB/m.

2.4.2. En déduire que la loi d'OHM peut être généralisée en présence du champ magnétique
selon :

où 0 est une matrice 3 x 3 appelée tenseur conductivité électrique et dont on exprimera les éléments
en fonction de 0, 7 etwc.

2.4.3. Pourquoi dit-on qu’en présence du champ magnétique, le milieu devient anisotrope
vis- à-vis de la loi d'OHM ?

2.4.4. Le milieu reste-t-il linéaire en présence du champ magnétique 7 Justifier.

PHYSIQUE. 3/5

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Concours National Commun - Filière MP - Session 2007

2.4.5. Que devient la relation (3) en l'absence de champ magnétique ? Que retrouve-t-on
ainsi ?

Troisième partie
Effet CORBINO

On considère un matériau conducteur ohmique de conductivité électrique o contenu entre deux
cylindres coaxiaux C, et C, parfaitement conducteurs, de rayons respectifs a et b (a › b). Les deux
cylindres sont supposés être suffisamment longs pour permettre de négliger tout effet de bord. Le
cylindre Ca est porté au potentiel électrostatique V, et le cylindre Cp au potentiel électrostatique ‏ا‎
‎(figure 2). Dans toute la suite, on supposera que Va › ‏.ا‎ On repère un point M de l’espace par ses
coordonnées cylindriques (r,0,z) habituelles et on note ) ‏ل( ل ,و ل أ‎ la base locale de ce système de
coordonnées.

6

116.1 -
Milieu conducteur entre deux cylindres

3.1. On considère d’abord le cas d’un champ magnétique nul (B = 0).
3.1.1. Leconducteur compris entre les deux cylindres C, et C; est-il en équilibre électrostatique ?

3.1.2. Montrer que le champ électrique 7 entre les deux cylindres est radial et s’écrit 7 =

3.1.3. En utilisant le théorème de GAUSS, exprimer E(r) entre les deux cylindres C, et Cp en
fonction de la densité surfacique de charge ‏وم‎ de Ca, ‏يه‎ 7 et 60

3.1.4. Que vaut le champ électrique Fa enr = a.
3.1.5.  Exprimer p$ en fonction de é0, a, bet Var = Va — ٠٠

3.1.6. En déduire l'expression de É en tout point de l'espace en fonction de Van. 7, a et b et
tracer l’évolution de Æ(r) en fonction ‏عل‎ ©

3.1.7. Déterminer la valeur EF, de E(r) en r = b et montrer qu'elle s'exprime simplement en
fonction de la densité surfacique de charge ‏زم‎ de Cp; et eg. On admettra que les deux surfaces Ca et Cp

sont en état d'influence totale.

3.1.8. Tracer les lignes de champ de É. Quelle est la forme des lignes de courant électrique ?

4/5 PHYSIQUE!

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PHYSIQUE!

3.1.9. Exprimer l'intensité du courant électrique 710 qui traverse une surface cylindrique ‏م‎
‎coaxiale à Ca et Cb et de hauteur h placée entre les deux cylindres en fonction de ‏ذه‎ h, a, b et Vab-

3.1.10. En déduire l’expression de la résistance électrique Ry de la tranche de hauteur h du
milieu conducteur. Commenter les variations de Ro en fonction de h et du rapport b/a.

3.2. Le nûlieu est soumis à présent à l’action d’un champ magnétique uniforme et permanent

5 = 1777 2. On admettra que les lignes de courant restent planes en présence de B.

3.2.1. En utilisant la relation vectorielle (2) montrer à l'aide d’une construction graphique,

que les lignes de courant, font un angle 0, avec les lignes de champ électrique É.
3.2.2.  Exprimér ‏م0 صما‎ en fonction de a, R, et B.

3.2.3. Montrer qu’en coordonnées cylindriques, la ligne de courant passant par le point de
coordonnées (r0,00,%0) peut s'écrire sous la forme :

où f (0) est une fonction analytique de 0 à déterminer. Que devient la relation (4) en champ nul
(B = 0) ? Commenter le résultat obtenu. .

3.2.4.  Onnote j le vecteur courant électrique en présence du champ magnétique 2 et jo le
module du vecteur courant électrique en l’absence du champ magnétique.

3.2.4.1. Exprimer le module ÿ de j en fonction de ‏ذه .مز‎ Rp et B.

3.2.4.2. En déduite l'expression de la composante radiale ‏مر‎ de j en fonction des mêmes
paramètres.

3.2.5.  Onnote / l'intensité du courant qui traverse une surface cylindrique C, coaxiale à Ca et
Cp et de hauteur h placée entre les deux cylindres.

3.2.5.1. Exprimer / en fonction de o, ‏ىرع‎ B, et ‏م7‎ intensité du courant électrique en l’absence
du champ magnétique.

3.2.5.2. En déduire l’expression de la résistance électrique R de la tranche de hauteur / du
milieu conducteur en présence du champ magnétique B en fonction de o, B, R, et Ro.

3.2.5.3. Exprimer la variation relative de résistance à = ‏شح‎ en fonction de o, R, et B.

Commenter le résultat obtenu.
3.2.5.4. Comment peut-on expliquer qualitativement l'effet de magnétorésistance exprimé
par à ?

3.2.5.5. Déterminer la valeur numérique de la variation relative de résistance à sous un
champ magnétique B = 1T dans le cas du cuivre pour lequel : R, = —0,7 x 10-""m3.C— et
oR6x1070-Lm"",

3.2.5.6. Répondre à la même question dans le cas d’un semi-conducteur comme l’arséniure
d’indium lilAs pour lequel : R, = +0,7m3.C—" et à = 10-12. Commenter en comparant les
valeurs obtenues.

PHYSIQUE. 5/5

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