نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2004: الفيزياء 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère Chargé de l'Enseignement Ministère de l'Enseignement
Secondaire et Technique Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d’Ingénieurs
Session 2004

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Durée 4 heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit

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Microscopie

La microscopie est la technique permettant de rendre visible des détails fins d’un objet. L'épreuve
propose d’en aborder quelques aspects. Elle est constituée de 3 parties largement indépendantes.
La première partie étudie quelques propriétés de l’œil humain. Cette étude est nécessaire pour la
compréhension du fonctionnement du microscope étudié dans la partie 2. La dernière partie aborde
un aspect de la microscopie électronique.

Données utiles

. Masse de l’électron : me = 9,1 10-3176
. Charge de élémentaire : e = 1,6 100
. Constante de PLANCK : h = 6,62 105

. Divergence en coordonnées cylindriques d’un champ vectoriel & = a,(r, ‏مالع‎ + az(r, ‏وات‎
r Or Oz

. Rotationnel en coordonnées cylindriques d’un champ vectoriel à = a,(r, ‏الع‎ + az(r, ‏الت‎ :

7-١ ‏م80‎ 86

Oz Or

19“ partie :

Œuil

L’œil est l’organe pair de la vuc. Le globe oculaire, approximativement sphérique, est constitué
principalement des éléments suivants :

- l’iris est une membrane circulaire, contractile, occupant le centre antérieur de l’œil et percée
en son milieu d’un orifice, la pupille, dont le diamètre ‏ن‎ peut varier entre 2 mm et 8 mm ; l'iris
joue le rôle d’un diaphragme permettant de régler la quantité de lumière qui pénètre dans l’
œil :

- le cristallin, en forme de lentille biconvexe, est le principal élément réfringent de l’ œil; il est
placé dans le globe oculaire en arrière de la pupille ;

- la retine est une membrane du fond de l’œil, formée de cellules nerveuses en rapport avec les
fibres du nerf optique, et sensible à la lumière ; elle joue le rôle d’un transducteur qui participe
à la transformation du flux lumineux en influx nerveux.

L'ensemble du globe oculaire est protégé par une paroi appelée la sclerotique et qui, en avant
de l’œil, prend une forme bombée et devient transparente formant la cornée. L’œil ne voit
clairement un objet que si son image par ses différents milieux réfringents se forme sur la
rétine. Pour cela, les muscles de l’œil peuvent agir sur le cristallin pour modifier sa courbure :
c’est le phénomène d’accommodation. Pour l’étude optique simplifiée proposée dans ce
problème, l’œil sera schématisé par une seule lentille convergente (L) de distance focale image
f; variable, placée devant un écran (Æ) qui schématise la rétine à une distance d = OF appelée
profondeur de l’œil. Un diaphragme (D), d’ouverture circulaire de diamètre & variable entre
2 mm et 8 mm, est placé contre la lentille (figure 1). Le tout est plongé dans l’air d'indice de
réfraction 1.

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Fig 1 : Modèle simplifié de l'œil.

La puissance P de l’œil est définie par :

P s’exprime en dioptrie (6) lorsque f, est exprimée en mètre (146 = 1m”*). L’accommodation
traduit la capacité de l’ œil à faire varier sa puissance P.

1.1 Champ latéral et champ en profondeur

1.1.1 Le champ latéral couvert par l’œil représente l’ensemble des points de l’espace qui peuvent être
vus nettement par l’œil. Il est défini par un cône de sommet 0 et d'angle ‏نه‎ compris entre 40°
et 50°. Cependant, l’acuité visuelle n’est pas la même pour toutes les directions de ce champ.
Elle est maximale au centre sur un cône d'angle au sommet ar = 5°. En déduire l’ordre de
grandeur du diamètre 7 de la zone de perception des détails située au centre de la rétine pour
un œil de profondeur d = 17 mm.

1.1.2 Comment doit varier la puissance P en fonction de la distance ‏م‎ = —OA, d’un objet A.Bo
placé devant l’œil sur l’axe optique principal pour que A,B, soit vu nettement ? Représenter
graphiquement P(p).

1.1.3 En réalité la puissance P de l’œil est limitée par une puissance maximum Pymax- Le punctum
proximum (P,) est le conjugué de la rétine au maximum de la puissance P. Pour un œil normal
(P,) se trouve à une distance |OP,| = 25 cm. En déduire la valeur de la puissance maximum
Praz POUr un œil normal de profondeur d = 17 mm.

1.1.4 Le punctum remotum (P,) est le conjugué de la rétine au minimum de la puissance P. Pour
un œil normal (P,) est rejeté a l'infini. En déduire la valeur de la puissance minimum Pmnin
pour un œil normal de profondeur d = 17mm.

1.1.5 Déduire de ce qui précède l’amplitude maximale d’accommodation A = Pyrax › Pmin Et calculer
sa valeur numérique.

1.2 Défauts de lœuil et correction

1.2.1 Myopie
Pour les mêmes valeurs numériques des puissances Praz ‏اه‎ Prin, UN œil myope possède une
profondeur dy = 17,5 mm.

1.2.1.1 Où se trouve l’image d’un objet très loin par un tel œil lorsqu’ il n’accommode pas ? L’œil
myope est-il capable de former l’image de cet objet sur la rétine ?

1.2.1.2 Déterminer les positions du punctum remotum et du punctum proximum pour cet œil.

1.2.1.3 Quel type de lentille mince faut-il accoler à la cornée pour corriger une telle anomalie ?
Calculer sa distance focale image fm- Commenter.

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1.2.2 Hypermétropie

Un œil hypermétrope a une profondeur d, = 16,5 mm et possède les mêmes valeurs des
puissances Pyax €t Pmin que l’œil normal.

1.2.2.1 Où se trouve l’image d’un objet très loin par un tel œil lorsqu'il n’accommode pas ? L’œil
hypermétrope est-il capable de former l’image de cet objet sur la rétine ? Si oui, quelle est la
puissance P, nécessaire ?

1.2.2.2 Déterminer les positions du punctum remotum et du punctum proximum pour cet œil.

1.2.2.3 Quel type de lentille mince faut-il accoler à la cornée pour corriger une telle anomalie ?
Calculer sa distance focale image fn. Commenter.

1.2.3 Presbytie
Avec l’âge, le cristallin perd de son élasticité. Ceci qui se traduit par une diminution de l’ampli-
tude maximale d’accommodation : l'œil devient presbyte. On convient de considérer qu’un œil
devient presbyte lorsque sa puissance maximale diminue de plus de 1,14 0. À quelle distance
minimale doit-on placer un document devant un tel œil, initialement normal, pour pouvoir le
lire ?

1.3 Limite de résolution de l’œuil
Le pouvoir de résolution est la capacité de l’œil à distinguer deux points très rapprochés. Cette
capacité est limitée par la structure granulaire de la rétine formée de cellules de diamètre moyen
g = 5,1 jm au contact les unes avec les autres.

1.3.1 On admet que pour que la séparation de deux points puisse se faire distinctement, il faut que
leurs images se forment sur deux cellules de la rétine séparées par une troisième. En déduire
l'expression littérale puis la valeur numérique de la limite de résolution angulaire à, d’un œil
normal de profondeur d = 17 mm.

1.3.2 À quelle distance de l’œil doit-on placer un objet pour pouvoir apprécier ses détails les plus
fins ? Justifier la réponse.

2076 partie :
Microscope composé

Le microscope est un instrument optique qui permet d'observer les détails d’objets microsco-
piques ayant un diamètre apparent trop petit pour être distingués à l’œil nu. Un microscope
composé est un système optique centré constitué principalement d’un objectif et d’un oculaire
d’axe optique principal commun. L'objectif est constitué d’un ensemble assez complexe de len-
tilles. Il est caractérisé (figure 2) par ses plans principaux objet Il,1 et image 11 et par ses foyers
objet F,, et image F;, Les distances focales objet f,1 et image f; sont telles que fu = Ho1Fo1
et fu = HaF;. L'objectif donne d’un objet A,Bo perpendiculaire à l’axe optique une image
réelle A, B,. La figure 2 explique le principe de formation de l’image A; B, par l’objectif. Pour
les applications numériques, on prendra fu = 4 mm.

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objectif

Fig 2 : Formation de l’image intermédiaire par l’objectif du microscope.

L'objectif est stigmatique pour un point objet A, quelconque situé sur l’axe et il en donne une
image A; située sur l’axe. Il est aussi aplanétique pour un petit objet A,B. perpendiculaire à
l’axe optique principal et ce même si l’angle ‏نه‎ que font les rayons lumineux avec l’axe optique
principal peut atteindre une valeur ‏.مه‎ de l’ordre de 70°. Un rayon lumineux issu de A, et
faisant un angle ‏مه‎ quelconque avec l’axe ressort de l'objectif en passant par A, et en faisant
un angle ay avec l’axe. On admettra que, contrairement à à, l'angle a; reste toujours petit.
La condition d’aplanétisme pour l’objectif se traduit par la relation :

NA,B,sina, = A,B, sina, = A,B404 (2)

D’autre part, l’objectif considéré est dit à immersion car l'objet est immergé dans un li-
quide d’indice N qui vient au contact de l’objectif. L'objectif est caractérisé par son ouverture
numérique : 0, = N sin ‏.مم‎ On admet enfin que foi = —N fa Pour les applications numériques
on prendra N = 1,515 et am = 70°.

L’oculaire, quant à lui, sera représenté par une lentille mince convergente unique de centre O5,
de foyer objet F4 et de foyer image F;9 sa distance focale image est fa = O9 F;9 = 20mm.

Le foyer image F;1 de l’objectif et le foyer objet F42 de l’oculaire sont séparés d’une distance À =

‎appelée intervalle optique. Pour les applications numériques, on prendra À = 200 mm.‏ وو 7ر1
‎Mise au point‏ 2.1
‎Qu'’appelle-t-on conditions de GAUSS ?‏ 2.1.1
‎L'objectif du microscope considéré fonctionne-t-il dans les conditions de GAUSS ? Pourquoi ?‏ 2.1.2
‎En utilisant la figure 2 pour exprimer de deux manières différentes le grandissement transversal‏ 2.1.3
‎Gun de l’objectif défini par :‏

‎montrer que les positions de l’objet A, et de son image A, par l'objectif sont reliées par la
relation de conjugaison de NEWTON :

‎2.1.4 L’œil de l’observateur est supposé normal. Où l’image intermédiaire A; B; donnée par l'objectif
doit-elle se situer pour que l’observateur puisse voir l’image définitive sans accommodation ?
Dans toute la suite de cette partie, on supposera que cette condition est réalisée
lors de l’utilisation normale du microscope.

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2.1.5 Compléter alors le schéma de la figure 2, après l'avoir reporté sur la copie de composition, en
traçant le cheminement à travers l’ensemble du microscope (objectif et oculaire) du faisceau
lumineux issu du point B, représenté figure 2.

2.1.6 En déduire la position de l'objet A,B. caractérisée par la distance algébrique Fe1Ao que l’on
exprimera en fonction de À, N et fn-

2.1.7 Déterminer, dans les mêmes conditions, le grandissement transversal Gy de l’objectif.
2.1.8 Application numérique : calculer F1 Ao et ٠
2.2 Cercle oculaire

2.2.1 En utilisant le schéma de la figure 2, tracer le cheminement à travers le microscope des rayons
lumineux extrêmes du faisceau conique de sommet A, et de demi-angle au sommet am-

2.2.2 En déduire que tous les rayons lumineux issus de ‏مك‎ situés à l’intérieur d’un cône de sommet
A, et de demi-angle au sommet am traversent le plan focal image de l'objectif à l’intérieur d’un
cercle de rayon R. que l’on exprimera en fonction de fi et Q,-

2.2.3 En supposant que l’oculaire n’obture aucune partie de la lumière sortant de l'objectif, déterminer
le rayon p du faisceau cylindrique sortant du microscope et formé par les rayons lumineux issus
de A, ; on exprimera ‏م‎ en fonction de fi, fig, Qn et A.

2.2.4 En fait, tout se passe comme si les rayons sortant de l'objectif étaient diaphragmés par une
ouverture circulaire de rayon R, centrée en F1 et située dans le plan focal image de l’objectif.

2.2.4.1 En déduire que tous les rayons issus d’un objet étendu perpendiculaire à l’axe et sortant de
l’instrument sont ainsi astreints à traverser un disque appelé disque oculaire, de centre C, dont
on calculera la position et le rayon pe. Où doit-on placer l’œil pour recevoir le maximum de
lumière ? On supposera par la suite que cette condition est réalisée.

2.2.4.2 Application numérique : calculer ‏.م‎ et ‏.)ور‎ Commenter.

2.3 Grossissement

On définit le grossissement G du microscope comme étant le rapport entre l’angle 0" sous lequel
on voit un objet donné A,B, à travers le microscope et l’angle 0 sous lequel on voit le même
objet à l’œil nu lorsque A,Bo est placé à la distance minimale de vision distincte à. Pour les
applications numériques on prendra à = 250 mm.

2.3.1 Exprimer G en fonction de fi, fig, À et 0. et calculer sa valeur numérique.
2.3.2 Exprimer le rayon ‏وم‎ du cercle oculaire en fonction de G, Q, et 0.
2.3.3 Pour quelle valeur Ge du grossissement G, le rayon ‏.م‎ du cercle oculaire devient-il égal au rayon

‎et po et calculer numériquement‏ ف ‎de la pupille de l’œil + Exprimer Ge en fonction de Q,,‏ وم
‎Ge- On prendra po = 2,5 mm.‏

‎2.3.4 Comment peut-on définir un rayon utile ‏ىم‎ de la pupille pour recevoir un maximum de lumière ?
Déterminer l’expression de ‏ىم‎ et représenter ses variations en fonction de G en supposant ‏وم‎
‎constant.

‎2.4 Pouvoir de résolution

‎La résolution du microscope est sa capacité de permettre à un œil de distinguer les détails les
plus fins d’un objet. Deux facteurs principaux limitent la résolution du microscope optique. Il
s’agit de la diffraction et de la structure granulaire de la rétine de l’ œil.

‎2.4.1 Influence de la diffraction
2.4.1.1 Dire succinctement en quoi consiste le phénomène de diffraction.

‎Pour l'étude du microscope composé, tout se passe comme si la lumière était diffractée par le
diaphragme circulaire de rayon R situé dans le plan focal image de l'objectif et centré en F;,.

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1 5 10611 1 ===

2 oculaire

Fig 3 : Diaphragme diffractant dans son environnement.

Le microscope est éclairé par l’onde monochromatique de longueur d’onde À issue d’un objet
ponctuel ‏مك‎ conjugué géométrique du foyer objet F2 de l’ oculaire.

À cause de la diffraction par le diaphragme de rayon R, l’amplitude ‏مه‎ de l’onde diffractée dans
le plan focal objet de l’oculaire dépend de l’angle 0 que fait la direction d’observation avec l’axe
optique principal. On admet qu’elle est donnée par :

271 221710 )
où ap est une constante et J, est la fonction de BESSEL d'ordre 1. La figure 4 donne une
représentation graphique de la fonction ‏م‎ — J1(2xp)/2xp. Elle s’annule pour la premiere fois
pour ‏رم‎ = 0,61.

à z . ‏م22‎
‎Fig 4 : Représentation de “ ‏ل‎ TE)

en fonction ‏.م عل‎

2.4.1.2 Donner l'expression de l’intensité lumineuse /4(0) dans le plan focal objet de l’oculaire en
notant ‏و7‎ la valeur de l'intensité en F9

2.4.1.3 Donner l’aspect de la figure de diffraction obtenue dans le plan focal objet de l’oculaire
passant par F9 On justifiera succinctement la réponse.

2.4.1.4 Déterminer le rayon angulaire 0, de la tache centrale de diffraction.

2.4.1.5 On considère (critère de RAYLEIGH) qu’il y a séparation entre deux points ‏مك‎ et Bo si la

distance des centres des taches centrales de diffraction est au moins égale au rayon d’une tache
centrale. En déduire la distance ‏.وي‎ dans le plan objet du microscope, correspondant à la plus

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petite distance de deux points objets ‏مك‎ et B, séparables. On exprimera Sy en fonction de À et
Q, Commenter le résultat obtenu en précisant les facteurs permettant d'améliorer le pouvoir
de résolution.

2.4.2 Influence du pouvoir séparateur de l’œuil

Du fait de la structure granulaire de la rétine, l’œil n’est capable de distinguer deux points
que si leur écart angulaire dépasse une valeur minimale az appelée pouvoir séparateur de l’œil.
Pour les applications numériques on prendra a, = 3.104.

2.4.2.1 Tracer le cheminement à travers le microscope des faisceaux lumineux issus de deux points

‎et B, disposés symétriquement par rapport à l’axe optique principal dans le plan conjugué‏ مك
‎par l’objectif du plan focal objet de l’oculaire.‏

‎2.4.2.2 En déduire la distance minimale ‏وي‎ que doit séparer les deux points A, et B, dans le plan
objet du microscope pour que l’œil puisse les distinguer en l’absence de la diffraction. On
exprimera ‏وى‎ en fonction de G, ar et 6.

‎2.4.3 Discussion

‎2.4.3.1 En exploitant l’étude précédente, montrer qu’il existe une valeur minimale G; du grossisse-
ment G telle que le pouvoir de résolution soit limité par la diffraction.

‎2.4.3.2 La diffraction est-elle responsable de la limitation du pouvoir de résolution du microscope
étudié ? Justifier. On prendra À = 0,5 pm.

‎2.4.3.3 Dans le cas où le pouvoir de résolution est limité par la diffraction, comment varie-t-il en
fonction de la longueur d’onde du rayonnement utilisé pour éclairer l’objet à observer ?

‎3ème partie :
Microscope électronique

‎3.1 Principe

‎Le microscope électronique exploite une propriété quantique d’un faisceau d’électrons. En effet,
à un électron d’impulsion ‏م‎ = meêv, 011 M, et v sont respectivement la masse et la vitesse de
l’électron, est associée une onde de longueur d’onde À, donnée par la relation de DE BROGLIE :

‏0 ديد

‎où h est la constante ‏عل‎ PLANCK.

‎Les électrons sont produits par effet thermoélectronique dans un canon à électrons placé dans
le vide. Ils sont ensuite accélérés sous une différence de potentiel V, = 10 kV.

‎3.1.1 Exprimer la vitesse va des électrons accélérés en fonction de leur masse m, de leur charge e et
de Ve. Pour cela on négligera la vitesse initiale d'émission des électrons.

‎3.1.2 En déduire leur longueur d’onde ‏ا‎
‎3.1.3 Application numérique : calculer va et ‏يا‎

‎3.1.4 Comparer la longueur d’onde À, de l’onde associée à l’électron, à celle À de la lumière visible et
dire pourquoi le microscope électronique peut avoir un pouvoir de résolution meilleur que celui
du microscope optique. On rappellera auparavant les limites en longueur d’onde du spectre de
la lumière visible.

‎3.2 Lentille électrostatique

‎Dans le microscope électronique, comme dans le microscope optique, la formation d’une image
agrandie de l’objet à observer nécessite l’utilisation de dispositifs capables de dévier la direction

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de propagation de l’onde. Le but de cette section est d'étudier le principe de fonctionnement
d’une lentille électrostatique qui peut être utilisée pour dévier la trajectoire des électrons dans
un microscope électronique.

3.2.1 Champ électrostatique dans la lentille
Dans la région (R) de l’espace appelée lentille électrostatique régne un champ électrostatique
non uniforme É. La région (R) est vide de charge électrique et telle que : x? + y? = R? et
—( › z › +. Le champ électrostatique E est produit par un dispositif invariant par rotation

d’un angle 0 quelconque autour de l’axe Oz et qui admet le plan ‏ع‎ = 0 comme plan de symétrie.
Le champ électrostatique est nul en dehors de la région .

3.2.1.1 Montrer, en évoquant des arguments clairs, que le champ électrostatique Æ' s'écrit en coor-
données cylindriques (r, 0, #) d’axe Oz sous la forme :

où F et G sont deux fonctions quelconques des coordonnées r et z uniquement que l’on ne
demande pas d’expliciter pour le moment.
(@,, do, ü) est la base orthonormée locale du système de coordonnées cylindriques.

3.2.1.2 Que vaut G(r, =) dans le plan z = 0? Justifier.
3.2.1.3 Rappeler les équations locales vérifiées par le champ électrostatique Ë dans la région (R).

3.2.1.4 En déduire que les composantes F et G du champ électrostatique verifient les équations aux
dérivées partielles suivantes :

ب 086 - 27
0 مم ع

17 890)760( -

0 ون ا(

3.2.1.5 Le dispositif qui crée le champ électrostatique E dans la région (R) impose F(r,z) = ‏مي‎
‎avec 8 = QU, /R?, Up étant une constante. En déduire que G(r, 2( = 8'z et donner l’expression
de 8 en fonction de 2.

3.2.1.6 Montrer que le champ électrostatique Æ dérive d'un potentiel électrostatique & que l’on
exprimera en fonction de Up, r et z.

3.2.1.7 Quelle est la nature de la surface équipotentielle passant par l’origine ? Justifier la réponse
et représenter graphiquement cette surface. Que représente Up ?

3.2.2 Mouvement de l’électron dans la lentille
À l’instant choisi comme origine, un électron pénètre dans la région (R) au point 1. de co-
ordonnées r = r9 › R, z = -/ avec une vitesse Ÿ = ‏و لام‎ › 0. Dans toute la suite, on
négligera l’action de la pesanteur sur le mouvement de l’électron.

3.2.2.1 En exploitant la projection du théorème du moment cinétique sur l’axe Oz, montrer que,
dans la région (R), le mouvement de l’électron se fait dans un plan méridien 0 = constante.

3.2.2.2 Etablir les équations différentielles vérifiés séparément par r et 2. À quelle condition sur Up,
le mouvement de l’électron est-il confiné au voisinage de l’axe Oz. En supposant que cette condi-
tion est satisfaite dans toute la suite, montrer que les équations différentielles précédentes
peuvent s’écrire :

‎—2u?z=0 (9)‏ ع ‎et‏ 0= مقو د اي

et donner l’expression de w en fonction de e, me, Up et R.

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3.2.2.3 Résoudre l’équation différentielle en 2 et déterminer l’expression de z(t) vérifiant les condi-
tions initiales.

3.2.2.4 Dans toute la suite, on suppose satisfaite la condition ‏.ون › ابن‎ Montrer alors, que la vitesse
# de l’électron reste pratiquement égale à vo et en déduire la durée t4 nécessaire à l’électron
pour traverser la zone (R)).

3.2.2.5 Résoudre de même l’équation différentielle en r et montrer que la trajectoire électronique
reste au voisinage de l’axe Oz. Quelle est l’hypothèse correspondante en optique ?

3.2.2.6 Déterminer les composantes du vecteur vitesse de l’électron au point 1 de sa sortie de la
région (R).

3.2.2.7 Montrer que le mouvement de l’électron est rectiligne uniforme en dehors de la région (R).

3.2.2.8 Déterminer la coordonnée zrr du point d'intersection de la trajectoire électronique avec l’axe
Oz. La position de F’ dépend-elle de 7, ? Justifier le nom de foyer donné à F’. Cette lentille
électrostatique est-elle convergente ou divergente ? Comment peut-on agir sur la distance focale
de la lentille.

3.2.2.9 Application numérique : calculer z pour € = 1,0 107*m et ‏وو/رام‎ = 102.

fin de l’énoncé

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