نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2015: الرياضيات 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

Cette épreuve est la Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2015, filière MP, organisé par la présidence du CNC (ENSEM) pour l'admission dans les écoles d'ingénieurs marocaines. Durée : 4 heures, calculatrice interdite, 4 pages. C'est un problème d'algèbre linéaire et de topologie en quatre parties : « Quelques propriétés du groupe spécial orthogonal — Application à la non continuité de la diagonalisation ». On montre que SO_n(ℝ) est connexe par arcs, puis qu'il est impossible de choisir continûment une matrice de passage diagonalisant toutes les matrices de 𝒰_n (matrices réelles à n valeurs propres réelles distinctes). Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : le fil conducteur est simple : une application continue sur un connexe par arcs (SO_n(ℝ)) et à valeurs dans un ensemble fini est constante. Toute la partie 2 prépare cette connexité, les parties 3 et 4 construisent une fonction continue à valeurs dans un ensemble fini qui prend au moins deux valeurs. Le sujet contient plusieurs coquilles (signalées ci-dessous) : signalez-les sur la copie comme le demande l'énoncé et continuez.

1^re partie — Résultats préliminaires

1.1.1. Description de 𝒰₂

Pour A ∈ ℳ₂(ℝ), χ_A(λ) = λ² − Tr(A)λ + det A. A a deux valeurs propres réelles distinctes si et seulement si ce trinôme a deux racines réelles distinctes, c'est-à-dire si son discriminant est strictement positif : 𝒰₂ = {A ; (Tr A)² − 4 det A > 0}.

1.1.2. Continuité de Tr et det

Tr est linéaire sur un espace de dimension finie, donc continue. Les applications coordonnées A ↦ a_ij sont linéaires, donc continues. Comme det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ est un polynôme en ces coordonnées, det est continue.

1.1.3. 𝒰₂ est un ouvert non vide

φ : A ↦ (Tr A)² − 4 det A est continue, et 𝒰₂ = φ⁻¹(]0, +∞[) est l'image réciproque d'un ouvert par une application continue, donc c'est un ouvert. Il est non vide puisque diag(0, 1) ∈ 𝒰₂ (φ = 1 > 0).

1.1.4. Dessin

Le graphe de x ↦ x²/4 est une parabole de sommet O, tournée vers le haut. L'ensemble {(Tr A, det A) ; A ∈ 𝒰₂} est la région strictement au-dessous de la parabole : {(t, d) ; d < t²/4}, parabole exclue. On a l'inclusion par 1.1.1. Réciproquement, si d < t²/4, la matrice compagnon (0, −d ; 1, t) a pour trace t et pour déterminant d, donc chaque point est atteint. C'est cette zone qu'il faut hachurer.

1.1.5. Diagonalisation continue sur 𝒱₂

Si M ∈ 𝒰₂, χ_M est scindé à racines simples, donc M est diagonalisable (deux sous-espaces propres de dimension 1 en dimension 2). Pour M = (a, b ; c, d) ∈ 𝒱₂, on pose Δ(M) = (a+d)² − 4(ad − bc) = (a − d)² + 4bc > 0 et λ_± = (a + d ± √Δ)/2. La première ligne de (M − λI₂)X = 0 donne (a − λ)x + by = 0, donc X_λ = (b, λ − a) est un vecteur propre non nul (b ≠ 0). On pose :

f(M) = ( b b ; λ₊ − a λ₋ − a ), avec det f(M) = b(λ₋ − λ₊) = −b√Δ ≠ 0.

f est continue (√ est continue sur ]0, +∞[ et Δ est polynomiale), à valeurs dans GL₂(ℝ), et f(M)⁻¹Mf(M) = diag(λ₊, λ₋) d'après 1.3. Coquille : il faut lire « pour tout M ∈ 𝒱₂ » et non « M ∈ ℳ₂(ℝ) ». Le problème montrera qu'on ne peut pas étendre cela à tout 𝒰₂.

1.2.1. Commutant de A = diag(α₁, …, α_n)

(MA)_ij = m_ijα_j et (AM)_ij = α_im_ij. Donc MA = AM ⇔ m_ij(α_i − α_j) = 0 pour tous i, j ⇔ m_ij = 0 pour i ≠ j, car les α_i sont distincts. 𝒞(A) est l'ensemble des matrices diagonales.

1.2.2.

UAU⁻¹ = VAV⁻¹ ⇔ V⁻¹UA = AV⁻¹U (on multiplie à gauche par V⁻¹ et à droite par U) ⇔ V⁻¹U ∈ 𝒞(A) ⇔ V⁻¹U est diagonale.

1.3. CNS de conjugaison

On note D = diag(d₁, …, d_n) et C_j les colonnes de P. Alors P⁻¹MP = D ⇔ MP = PD ⇔ MC_j = d_jC_j pour tout j. Comme P est inversible, C_j ≠ 0 : C_j est un vecteur propre associé à d_j (correspondance colonne par colonne), et d_j est une valeur propre. Réciproquement, si chaque C_j est un vecteur propre associé à d_j, on obtient MP = PD.

2^e partie — Propriétés de SO_n(ℝ)

2.1. Sous-groupes

Si ^tAA = I_n, alors (det A)² = 1, donc 𝒪_n(ℝ) ⊂ GL_n(ℝ) (l'énoncé écrit GL₂, coquille). I_n ∈ 𝒪_n. Si A, B ∈ 𝒪_n, alors B⁻¹ = ^tB et ^t(AB⁻¹)(AB⁻¹) = B ^tA A ^tB = B^tB = I_n. 𝒪_n(ℝ) est un sous-groupe de GL_n(ℝ). Ensuite, det : 𝒪_n → {−1, 1} est un morphisme de groupes, et SO_n = Ker(det) est un sous-groupe de 𝒪_n.

2.2. SO₂(ℝ)

Soit A = (a, c ; b, d) ∈ 𝒪₂. Ses colonnes sont orthonormées : a² + b² = 1, c² + d² = 1 et ac + bd = 0. Donc (c, d) est unitaire et orthogonal à (a, b), d'où (c, d) = ε(−b, a) avec ε = ±1. Alors det A = ε(a² + b²) = ε, et det A = 1 impose ε = 1. Réciproquement, (a, −b ; b, a) avec a² + b² = 1 vérifie ^tAA = I₂ et det = 1. SO₂ = {(a, −b ; b, a) ; a² + b² = 1}.

2.3. SO₂(ℝ) est connexe par arcs

Coquille : la seconde ligne de Φ(θ) est imprimée « cos θ, sin θ ». Il faut lire Φ(θ) = (cos θ, −sin θ ; sin θ, cos θ), comme en 2.4.1.

• 2.3.1. Les coefficients de Φ sont cos et sin, qui sont continues, donc Φ est continue.
• 2.3.2. Φ(θ) ∈ SO₂ par 2.2 (a = cos θ, b = sin θ). Réciproquement, si a² + b² = 1, il existe θ tel que a = cos θ et b = sin θ. Donc Φ(ℝ) = SO₂(ℝ).
• 2.3.3. Si U₁ = Φ(θ₁) et U₂ = Φ(θ₂), le chemin t ↦ Φ((1 − t)θ₁ + tθ₂), t ∈ [0, 1], est continu et reste dans SO₂. SO₂(ℝ) est connexe par arcs (image continue du connexe ℝ).

2.4.1. U ∈ SO_n ⇔ q pair

det U = det(P⁻¹UP) = 1^p · (−1)^q · Π det Φ(θ_k) = (−1)^q, car det Φ(θ_k) = cos² + sin² = 1. Comme U ∈ 𝒪_n, U ∈ SO_n ⇔ (−1)^q = 1 ⇔ q pair.

2.4.2. (i) Réduction de U ∈ SO_n

q est pair, q = 2m. Comme −I₂ = Φ(π), le bloc −I_q se découpe en m blocs Φ(π). On obtient la forme demandée avec s = r + m, p inchangé, p + 2s = p + q + 2r = n, et des angles dans ]0, 2π[ (π est désormais permis). Les indices vont de 1 à s (l'énoncé écrit θ_r, coquille).

(ii) Le chemin Γ

Coquille importante : telle qu'imprimée, Γ(t) ne dépend pas de t. Il faut lire Γ(t) = P diag(I_p, Φ(tθ₁), …, Φ(tθ_s)) P⁻¹.

• Continuité : les coefficients de la matrice centrale sont des fonctions continues (cos(tθ_k), sin(tθ_k), 0, 1), et M ↦ PMP⁻¹ est linéaire, donc continue.
• La matrice centrale est orthogonale (blocs orthogonaux) de déterminant 1, et P ∈ 𝒪_n. Γ(t) est donc un produit d'éléments de 𝒪_n de déterminant 1 : Γ(t) ∈ SO_n.
• Γ(0) = P I_n P⁻¹ = I_n et Γ(1) = P(P⁻¹UP)P⁻¹ = U.

2.4.3. SO_n est connexe par arcs

Tout U ∈ SO_n est relié à I_n par un chemin γ_U continu dans SO_n avec γ_U(0) = I_n et γ_U(1) = U (le chemin constant si U = I_n, Γ sinon). Pour U₁, U₂, on pose γ(t) = γ_U1(1 − 2t) pour t ∈ [0, 1/2] et γ(t) = γ_U2(2t − 1) pour t ∈ [1/2, 1]. Les deux formules valent I_n en t = 1/2, donc γ est continue, à valeurs dans SO_n, et relie U₁ à U₂. SO_n(ℝ) est connexe par arcs.

2.5 (numérotée 2.6 dans le sujet). Orbite UAU⁻¹

• 2.5.1. M ↦ ^tM est linéaire en dimension finie, donc continue.
• 2.5.2. Sur SO_n, U⁻¹ = ^tU : l'inversion est la restriction d'une application continue, donc elle est continue.
• 2.5.3. U ↦ UA^tU est continue (le produit matriciel est bilinéaire en dimension finie, donc continu). L'image continue d'un connexe par arcs est connexe par arcs. Si γ relie U₁ à U₂, alors t ↦ γ(t)A^tγ(t) relie U₁AU₁⁻¹ à U₂AU₂⁻¹. {UAU⁻¹ ; U ∈ SO_n} est connexe par arcs.

3^e partie — Non continuité sur 𝒰₂

3.1.1.

f₂(M)⁻¹Mf₂(M) = diag(λ₁, λ₂). D'après 1.3, MC_i = λ_iC_i avec C_i ≠ 0. Cette diagonale est formée des valeurs propres de M, qui sont distinctes puisque M ∈ 𝒰₂, donc λ₁ ≠ λ₂. M est symétrique, donc λ₁<C₁, C₂> = ^t(MC₁)C₂ = ^tC₁MC₂ = λ₂<C₁, C₂>, d'où <C₁, C₂> = 0.

3.1.2.

Les colonnes normalisées forment une famille orthonormée de ℳ_2,1(ℝ), donc la matrice Q(M) correspondante vérifie ^tQQ = I₂ : elle est orthogonale.

3.1.3.

α(M) = det Q(M) ∈ {−1, 1} et g₂(M) = Q(M) diag(α(M), 1). C'est un produit de deux matrices orthogonales, de déterminant α(M)² = 1 : g₂(M) ∈ SO₂(ℝ).

3.1.4.

M ↦ f₂(M) est continue, l'extraction d'une colonne est linéaire et la norme est continue et ne s'annule pas (C_i ≠ 0). Donc M ↦ C_i/‖C_i‖₂ est continue, α = det ∘ Q est continue et g₂ est continue. Les colonnes de g₂(M) sont des multiples non nuls de C₁ et C₂, donc restent des vecteurs propres associés à λ₁ et λ₂. Par 1.3, g₂(M)⁻¹Mg₂(M) = diag(λ₁, λ₂).

3.2.1.

Pour U ∈ SO₂, ^t(UB^tU) = UB^tU, donc UBU⁻¹ est symétrique. Elle est semblable à B, donc ses valeurs propres sont α ≠ β. Ainsi 𝒮_B ⊂ 𝒰₂ ∩ 𝒮₂(ℝ).

3.2.2.

h₂(M)⁻¹Mh₂(M) est diagonale (3.1.4) et semblable à M, elle-même semblable à B. Une matrice diagonale semblable à B a pour diagonale les valeurs propres α, β dans un certain ordre. Deux valeurs possibles : B = diag(α, β) ou B' = diag(β, α).

3.2.3.

𝒮_B est connexe par arcs (2.5.3). La fonction réelle M ↦ [h₂(M)⁻¹Mh₂(M)]₁₁ est continue (inversion continue sur GL₂, produit continu) et à valeurs dans {α, β}. Son image est un connexe de ℝ, c'est-à-dire un intervalle, contenu dans {α, β} : c'est un singleton. L'application est constante sur 𝒮_B.

3.2.4.

Si la constante vaut B', on remplace h₂ par M ↦ h₂(M)R avec R = Φ(π/2) = (0, −1 ; 1, 0) ∈ SO₂. On vérifie que R⁻¹B'R = B : Re₁ = e₂, et R⁻¹B'Re₁ = R⁻¹(αe₂) = αe₁, de même pour e₂. La nouvelle application reste continue, à valeurs dans SO₂, et h₂(M)⁻¹Mh₂(M) = B sur 𝒮_B.

3.3.1.

Soit M = UBU⁻¹ et h = h₂(M). De h⁻¹UBU⁻¹h = B on tire (h⁻¹U)B = B(h⁻¹U). Donc h⁻¹U ∈ 𝒞(B), qui est formé de matrices diagonales (1.2.1, α ≠ β). C'est aussi un élément de SO₂ (groupe). Une matrice diagonale diag(a, d) de SO₂ vérifie a² = d² = 1 et ad = 1, d'où h₂(UBU⁻¹)⁻¹U = ±I₂.

3.3.2. φ₂ et ψ₂ réciproques

• ψ₂(φ₂(U)) = h₂(UBU⁻¹) · h₂(UBU⁻¹)⁻¹U = U.
• Soit (M, D) ∈ 𝒮_B × {±I₂} et U = h₂(M)D ∈ SO₂ (det(−I₂) = 1). D commute avec B, donc UBU⁻¹ = h₂(M)Bh₂(M)⁻¹ = M. Ensuite h₂(M)⁻¹U = D, d'où φ₂(ψ₂(M, D)) = (M, D).

φ₂ et ψ₂ sont des bijections réciproques.

3.3.3.

T : U ↦ Tr(h₂(UBU⁻¹)⁻¹U) est continue comme composée d'applications continues (conjugaison, h₂, inversion sur GL₂, produit, trace). Ses valeurs sont Tr(±I₂) = ±2. La surjectivité de φ₂ donne les deux valeurs : T(h₂(B)) = 2 et T(−h₂(B)) = −2. Image = {−2, 2}.

3.3.4. Conclusion

SO₂ est connexe par arcs et T est continue, donc T(SO₂) est un intervalle de ℝ. Or {−2, 2} n'est pas un intervalle : c'est une contradiction. Il n'existe pas d'application continue f₂ diagonalisant toutes les matrices de 𝒰₂, et même pas sur 𝒰₂ ∩ 𝒮₂(ℝ). Comparez avec 1.1.5, où c'est possible sur 𝒱₂.

4^e partie — Cas n ≥ 3

4.1.1.

Comme en 3.1.1, C_k est un vecteur propre associé à λ_k, et les λ_k sont les n valeurs propres distinctes de M. M est symétrique, donc les C_k sont deux à deux orthogonaux. Normalisés, ils forment une famille orthonormée de n vecteurs en dimension n : c'est une base orthonormée.

4.1.2.

α(M) = ±1 (déterminant d'une base orthonormée dans une base orthonormée) et g_n(M) = Q(M) diag(α(M), 1, …, 1) est orthogonale de déterminant α² = 1. Donc g_n(M) ∈ SO_n.

4.1.3.

La continuité se démontre exactement comme en 3.1.4. Les colonnes de g_n(M) restent des vecteurs propres, donc g_n(M)⁻¹Mg_n(M) est diagonale (le sujet écrit « U » au lieu de M, coquille).

4.2.1.

UA^tU est symétrique et semblable à A, dont les n valeurs propres sont distinctes : 𝒮_A ⊂ 𝒰_n ∩ 𝒮_n(ℝ).

4.2.2.

h_n(M)⁻¹Mh_n(M) est diagonale et semblable à A. Sa diagonale est donc une permutation de (α₁, …, α_n) : elle vaut diag(α_σ(1), …, α_σ(n)) avec σ ∈ 𝔖_n. Ces matrices sont deux à deux distinctes (α_i distincts). Il y a donc au plus n! valeurs possibles (n! matrices candidates). La question suivante montre qu'une seule est réellement prise.

4.2.3.

𝒮_A est connexe par arcs (2.5.3). Chaque coefficient diagonal de h_n(M)⁻¹Mh_n(M) est une fonction continue à valeurs dans l'ensemble fini {α₁, …, α_n}, donc constante (théorème des valeurs intermédiaires le long d'un chemin). L'application est constante.

4.2.4.

Si la constante est Δ = diag(α_σ(i)), soit P_σ une matrice de permutation telle que P_σ⁻¹ΔP_σ = A. Si det P_σ = −1, on la remplace par Q = P_σ diag(−1, 1, …, 1) : les matrices diagonales commutent, donc Q⁻¹ΔQ = A encore, et Q ∈ SO_n. On remplace alors h_n par h_nQ, qui reste continue, à valeurs dans SO_n, et vérifie h_n(M)⁻¹Mh_n(M) = A.

4.3.1.

Comme en 3.3.1, h_n(UAU⁻¹)⁻¹U commute avec A, donc elle est diagonale (1.2.1). Elle appartient aussi à SO_n si U ∈ SO_n. Coquille : l'énoncé écrit U ∈ 𝒪_n(ℝ), mais pour det U = −1 le produit aurait un déterminant −1. Il faut lire U ∈ SO_n(ℝ).

4.3.2. Cardinal de 𝒟_n

Une matrice diagonale orthogonale a ses coefficients dans {±1}, et det = 1 impose un nombre pair de −1. L'application qui change le signe du premier coefficient échange les matrices de déterminant 1 et celles de déterminant −1, parmi les 2ⁿ matrices diag(±1). Donc card 𝒟_n = 2ⁿ⁻¹.

4.3.3.

On reprend le calcul de 3.3.2 : ψ_n ∘ φ_n = id, et pour (M, D), U = h_n(M)D donne UAU⁻¹ = M (D commute avec A) et h_n(M)⁻¹U = D. φ_n et ψ_n sont des bijections réciproques (le sujet écrit φ₂, ψ₂, coquille).

4.3.4.

T_n : U ↦ Tr(h_n(UAU⁻¹)⁻¹U) est continue (composée d'applications continues). Ses valeurs sont les Tr(D), D ∈ 𝒟_n, et toutes sont atteintes grâce à la surjectivité de φ_n (U = h_n(A)D). Image = Tr(𝒟_n) = {n − 2k ; k pair, 0 ≤ k ≤ n}.

4.3.5. Conclusion

Tr(𝒟_n) est fini et contient au moins deux valeurs : n (D = I_n) et n − 4 (deux coefficients −1, possible car n ≥ 3). Or l'image de SO_n, connexe par arcs (2.4.3), par T_n continue est un intervalle : un intervalle fini à au moins deux points est impossible. Contradiction : f_n n'existe pas. On ne peut pas choisir continûment la matrice de passage sur 𝒰_n, même en se limitant aux matrices symétriques.

💡 Ce sujet résume trois réflexes du programme MP à maîtriser : (1) topologie en dimension finie : continuité des applications linéaires, polynomiales (det), de l'inversion sur GL_n ; ouverts définis par des inégalités strictes ; image continue d'un connexe par arcs ; une fonction continue sur un connexe à valeurs dans un ensemble fini est constante ; (2) réduction : commutant d'une matrice diagonale à valeurs propres distinctes, lien entre colonnes de P et vecteurs propres, théorème spectral (vecteurs propres orthogonaux pour une matrice symétrique) ; (3) groupe orthogonal : description de SO₂, réduction des isométries en blocs de rotation, déterminant ±1. Avant le CNC, entraînez-vous à rédiger proprement les recollements de chemins (2.4.3) et à signaler les coquilles d'énoncé au lieu de bloquer dessus.