نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2004: الرياضيات 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

استُخرج هذا النص آلياً من صور الامتحان وقد يحتوي على أخطاء في القراءة — الصور أعلاه هي المرجع.

— صفحة 1 —
ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale Ministère de l'Enseignement
et de la Jeunesse Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d'Ingénieurs
Session 2004

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 1

Durée 4 heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 5 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 2 —
Concours National Commun - Session 2004 — MP

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats du concours MP,
comporte 5 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .

Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction
seront des éléments pris en compte dans la notation. Les candidats pourront admettre et utiliser le résultat
d'une question non résolue s’ils l‘indiquent clairement sur la copie. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les | références | des questions abordées.

Exemples d’utilisation du théorème de Courant-Fischer

Notations et rappels : Dans tout le problème, n désigne un entier naturel supérieur ou
égal à 2. Si p € N*, on note M,,p(R) l'espace vectoriel des matrices à coefficients réels, à n lignes
et ‏م‎ colonnes ; si ‏م‎ = n, M,,p(R) est noté simplement M,(R), c’est l'algèbre des matrices carrées
d’ordre n à coefficients réels ; la matrice identité de M, (R) sera notée I.

Pour toute matrice A de M, p(R), ‘A désigne la matrice transposée de A ; si A € M, (R), Spr (A)
représente l’ensemble des valeurs propres réelles de A, Tr (A) sa trace et rg(A) son rang.

On munit M,,1(R) de son produit scalaire canonique défini par ‹X, Y›— 7

1°" Partie
A- Étude d’une matrice
Soit U un vecteur non nul de M,,1(R), de composantes uw, , un. On pose M = U'U.
1. Pour tout couple (;, 7) d'éléments de {1,... , n}, exprimer le coefficient m; ; de la matrice M à

l’aide des ‏.ير‎ Que vaut la trace de M ?
2. Exprimer les colonnes de M à l'aide de u1,...,un, et U.
3. Montrer alors que le rang de M est égal à 1.

4. Justifier que 0 est valeur propre de M et montrer que le sous-espace propre associé est égale à
{Y € Mn1(R), UY = 0}. Quelle est sa dimension ?

5. Calculer le produit MU et en déduire que ‘UU est une autre valeur propre de M. Déterminer
le sous-espace propre associé et donner sa dimension.

6. Montrer que la matrice M est orthogonalement semblable à la matrice diagonale D où

B- Théorème de Courant-Fischer

Soit A une matrice symétrique réelle d'ordre n ; on désigne par f l'endomorphisme de M,,1(R)
canoniquement associé à À.

1. Justifier qu’il existe une base orthonormée de l'espace euclidien (M,,1(R), ‹, ›) formée de
vecteurs propres de f.

Épreuve de Mathématiques II 1/5 Tournez la page S.V.P.

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 3 —
Concours National Commun - Session 2004 - MP

Dans la suite, on note ‏...بول بي‎ , A, les valeurs propres de f rangées dans l’ordre croissant et
on désigne par (e1,..., en) une base orthonormée de vecteurs propres associés :

Pour tout k € {1,2,...,n}, on note V; le sous-espace vectoriel de M,,1(R) engendré par les
vecteurs e1,... , ‏نمع‎ Vp = Vect(e1,.. , ex), et Fr l'ensemble de tous les sous-espaces vectoriels
de M,,1(R) qui sont de dimension k.
Si v est un vecteur non nul de M,,1(R) on pose Ra(v) = - = Fe), ;
2. Calculer R4(e;.), pour tout k € {1,2,...,n}.

3. 50110 = ›, x;e; un élément de M,,1(R).
Exprimer les quantités ‹f(v), v› et ‹v, v› en fonction des 1, et A, 1 ‹k ‹n.

4. Montrer alorsque À; =minR4(v) et A, = max Ra(v).
‏وحن عدن‎

5. Soient k € {1,...,n} et w un vecteur non nul de V,. Montrer que Ra(w) › À; et conclure que

MA = max Ra(v).
vEVe\{0}

(a) Montrer que la dimension du sous-espace vectoriel F, N Vect(ez,...,en) est › 1.
(b) Soit w un vecteur non nul de F; N Vect(ez,. , en). Montrer que Ra(w) › Ar-

(c) Déduire de ce qui précède que À, = où ( ts Ra(v)). (Théorème de Courant-Fischer)

7. (a) Montrer que l'application ‏زرب‎ : v —‹Auv, v› est continue sur M,,1(R) et en déduire la
continuité de l'application R4 sur M,,1(R) \ {0}.

(b) Montrer que l’ensemble M,,1(R) \ {0} est connexe par arcs et conclure que l'image de
l'application Rest un intervalle.

(c) Montrer alors que {Ra(v), v € Mn,1(R) \ {0} } = [A1, An]

2ème Partie

On rappelle qu’une matrice B, symétrique réelle d'ordre n, est dite définie positive si pour tout
vecteur non nul X de M,,1(R), on ait
XBX ›0.

1. Soit B une matrice symétrique réelle d'ordre n. Montrer que B est définie positive si et
seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.

2. Soit A = (

; une matrice symétrique réelle d'ordre 2.

(a) On suppose que A est définie positive ; montrer alors que a › 0 et ac — b? › 0.

(b) Soit X € M»,1(R) un vecteur de composantes 2 et y ; exprimer ‘X AX en fonction de
a, b, c, x et y et montrer que si a › 0 et ac — b? › 0 alors A est définie positive.

Le but de la suite de cette partie est d'étendre le résultat de cette question à n quelconque.

Épreuve de Mathématiques II 275 ‏ب‎

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 4 —
Concours National Commun - Session 2004 - MP

3. Soit A une matrice symétrique réelle d’ordre n; on désigne par f l'endomorphisme de
Mn,1(R) canoniquement associé à À et on note My ‹ À › ... ‹ An les valeurs propres
de f. Soient H un hyperplan de M,,1(R) et p la projection orthogonale sur H ; on note ‏و‎
‎l’'endomorphisme induit par ‏م‎ o f sur H.

(a) Montrer que ‏و‎ est un endomorphisme autoadjoint de H.
Soient alors ‏مر › . .. ‹ مر‎ les valeurs propres de g.

(b) Montrer que pour tout k € {1,...,n — 1}, Ar › ‏سر‎

i. Montrer que pour tout sous-espace vectoriel F, de M,,1(R), de dimension k + 1, le
sous-espace vectoriel F N H est de dimension = k.

ii. Soit F comme à la question précédente et soit donc G un sous-espace vectoriel de
F n H, de dimension k. Comparer ‹g(v), v› et ‹f(v), v›, pour v € G, et en déduire

que max splehux ‹ max «flux fs

iii. Conclure que 4, › An +1-

4. On reprend les hypothèses de la question précédente et on écrit A = au ‏ل‎ , avec
(a) Que représente la matrice A,_1 ? Justifier qu'elle est symétrique.
(b) On note ‏مر › ... › نا‎ les valeurs propres de la matrice ‏ماك‎ Montrer que

A ‹ 4 ‏ك .5 وا ك‎ An—1 € Hn—1 ‏ك‎ An-

(c) Conclure que si la matrice À est définie positive, il en est de même de la matrice ‏مك‎

5. Soit A une matrice symétrique réelle d'ordre n; on note A = (a;;)i‹i,j‹n et, pour tout

(a) Montrer que si A est définie positive alors les déterminants des matrices A, sont tous
strictement positifs.

(b) En utilisant le résultat de la question 4. précédente, montrer par récurrence sur n, que la
réciproque de (a) est vraie.

6. Un exemple d’utilisation : On considère la matrice M(t) = (dis ) dE t e [0,1].
‏اتج لاك‎

(a) Montrer que, pour tout + € ]0, 1], ‏ها‎ matrice M(t) est symétrique définie positive.
(b) En déduire que la matrice M, = ( am ) est symétrique définie positive.
‏1ر117‎ jen
(On remarquera que M, = f M(t) dt).

3ème Partie
A- Une deuxième application

1. Soient À et A’ deux matrices symétriques réelles d’ordre n. On note À; › Ag › ... › An (resp.
‏زد‎ › À ›. ‹ À) les valeurs propres de À (resp. A”); on note aussi 11 › l2 › ... › in les
valeurs propres de la matrice EF = A’ — À.

Épreuve de Mathématiques II 3/5 Tournez la page S.V.P.

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 5 —
Concours National Commun - Session 2004 - MP

(a) Montrer que, pour tout k € {1,2,...,n},
An + M1 › A € Ar + Hn-

Mn(R), subordonnée à la norme euclidienne de M,,1(R).

2. En déduire que l’ensemble ‏آي‎ des matrices symétriques réelles d’ordre n et définies positives
est un ouvert de l’espace vectoriel ‏ري‎ des matrices symétriques réelles d'ordre n.

B- Une dernière application

Soient A une matrice symétrique réelle d'ordre n et U un vecteur non nul de M,,1(R) ; on note
M ‹ ‏وا‎ ‹ ... › An les valeurs propres de À et A, › ‏زا‎ ›... › À, celles de la matrice ‏ع4‎ = A +
avec M =U Uete ER.

D’après la section A- de la première partie, il existe une matrice orthogonale R telle que

71 0

RMR = ( 0 0

On décompose alors la matrice RAR par blocs comme pour la matrice RM R et on obtient

t _ (a a
RAR=(3 414)

aveca € R, a € M(n—1),1(R) et ‏مك‎ € Mn_—1(R). La matrice ‏رما‎ est évidement symétrique réelle,

il existe donc une matrice orthogonale S, d'ordre n — 1, et des réels ‏وه ...روه‎ tels que

ISA, 18 = diag(a2,… , On).

; 1 0
On pose enfinQ = R 0 4 1

1. Montrer que la matrice Q est orthogonale.

2. Montrer, en effectuant des produits par blocs, que
t 1 t
1 _ (ae as 1 _ f(a+eUU ‏و‎
‎QAQ = 8 0 ‏ل‎ ) et ‘QA:Q = ( 0 ER

avec Dn—1 = diag(a2,... , On)-

3. On suppose que € › 0. Montrer en utilisant par exemple la question (A-1.) de cette partie que,
‏كيزا‎ M › ‏تآ راع + ييا‎

4. On suppose ici que € est quelconque et on note 01... , ‏من‎ les colonnes de la matrice Q.

(a) Vérifier que (C1, , C,) est une base orthonormée de M,,1(R).

(b) Soit X € M,1(R); on désigne par y1,...,yn les composantes de X dans la base
(C1, , Ch). Montrer alors que

XAX - ‏ج + أيه‎ auf + 2 ‏رج‎ Bu,

42 12
où F2, , Bn sont les composantes du vecteur 5 a de M (n-1),1(R).
Épreuve de Mathématiques II 4/5 ‏ب‎

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 6 —
Concours National Commun - Session 2004 - MP

(c) Écrire une relation analogue à la précédente et concernant la matrice Ag, puis en déduire,
lorsque X est non nul, que

0728

(d) En choisissant convenablement le X, montrer que ‏ود‎ › \;. On utilisera les formules

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Mathématiques II 5/5 FIN

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏