نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2001: الرياضيات 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines, filière MP, session 2001. Durée : 4 heures, calculatrice interdite ; l'énoncé (4 pages) ne précise pas de coefficient. C'est un problème d'algèbre linéaire et de topologie en trois parties : résultats préliminaires (sous-espaces caractéristiques, polynôme minimal ponctuel π_x,u), étude de l'ensemble 𝒞 des endomorphismes dont le polynôme minimal est de degré n − 1 (dim E = n ≥ 3), puis connexité par arcs de 𝒞(𝕂) = {A ∈ M_n(𝕂), deg π_A = n − 1}. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : les outils clés sont le lemme des noyaux, le théorème de Cayley-Hamilton, l'idéal annulateur {P, P(u)(x) = 0} et le lemme de Gauss. Dans la 2^e partie, suivez la suite des dimensions d_k = dim Ker v^k ; dans la 3^e, l'idée est de relier toute matrice de 𝒞(𝕂) à la matrice fixe J par un chemin continu (similitude, puis déformation des coefficients).

1^re partie — A. Dimension de F_λ

• 1. (X − λ)^p et Q sont premiers entre eux (Q(λ) ≠ 0) et χ_u(u) = 0 (Cayley-Hamilton). Le lemme des noyaux donne E = Ker χ_u(u) = F_λ ⊕ Ker Q(u). Ces noyaux de polynômes en u sont stables par u, car u commute avec (u − λI_E)^p et Q(u).
• 2(a). (v − λI_Fλ)^p = 0 : v − λI_Fλ est nilpotent.
• 2(b). χ_v(X) = det(v − λI − (X − λ)I) = χ_v−λI(X − λ) = (−1)^d(X − λ)^d (rappel sur les nilpotents). Dans une base adaptée à E = F_λ ⊕ Ker Q(u), la matrice de u est diagonale par blocs (Mat v, Mat w), d'où χ_u = χ_vχ_w = (−1)^d(X − λ)^dχ_w.
• 2(c). Si χ_w(λ) = 0, il existe x ≠ 0 dans Ker Q(u) avec u(x) = λx ; alors x ∈ Ker(u − λI) ⊂ F_λ, ce qui contredit F_λ ∩ Ker Q(u) = {0}. Donc χ_w(λ) ≠ 0 ; la multiplicité de λ dans χ_u vaut donc exactement d : p = d = dim F_λ.

1^re partie — B. Polynôme minimal ponctuel

• 1. I_x = {P ∈ 𝕂[X], P(u)(x) = 0} est un idéal de 𝕂[X], non nul car il contient π_u. Il est engendré par un unique polynôme unitaire π_x,u, qui est l'unique polynôme unitaire de degré minimal de I_x. Comme π_u ∈ I_x, π_x,u divise π_u.
• 2. π_x,u est un diviseur unitaire de π_u ; or π_u n'a qu'un nombre fini de diviseurs unitaires (les P₁^β₁…P_r^β_r avec 0 ≤ β_i ≤ α_i). L'ensemble {π_x,u} est fini.
• 3. Par l'absurde, si P_i^α_i ne divise aucun π_y,u, chaque π_y,u (diviseur de π_u) divise T = P_i^α_i−1Π_j≠iP_j^α_j. Alors T(u)(y) = 0 pour tout y : T annule u avec deg T < deg π_u, contradiction. On obtient donc y_i ≠ 0 avec P_i^α_i | π_yi,u. Écrivons π_yi,u = P_i^α_iB et posons x_i = B(u)(y_i). On a x_i ≠ 0 (sinon π_yi,u diviserait B, de degré plus petit) et P_i^α_i(u)(x_i) = 0, donc π_xi,u = P_i^β avec β ≤ α_i. Si β < α_i, alors P_i^βB annulerait y_i avec un degré < deg π_yi,u : absurde. D'où π_xi,u = P_i^α_i.
• 4. Si x + y = 0, alors π_y,u = π_x,u, donc R = S, et comme R ∧ S = 1, R = 1, ce qui donne x = 0 : exclu. Donc x + y ≠ 0. D'abord RS(u)(x + y) = S(u)R(u)(x) + R(u)S(u)(y) = 0, donc T = π_x+y,u divise RS. Ensuite T(u)(x) = −T(u)(y) ; en appliquant S(u) : (ST)(u)(x) = −T(u)S(u)(y) = 0, donc R | ST, puis R | T (Gauss). De même S | T, et comme R ∧ S = 1, RS | T. Les deux polynômes sont unitaires : π_x+y,u = RS.
• 5. Les P_i^α_i sont deux à deux premiers entre eux. Par récurrence avec 4, e = x₁ + … + x_r vérifie π_e,u = Π P_i^α_i = π_u (à chaque étape, Π_i≤kP_i^α_i est premier avec P_k+1^α_k+1), et e ≠ 0 par 4. Il existe e ≠ 0 tel que π_e,u = π_u.

2^e partie — A. vⁿ⁻¹ = 0 et vⁿ⁻² ≠ 0

On note d_k = dim Ker v^k.

• 1. Si v^k(x) = 0, alors v^k+1(x) = 0 : Ker v^k ⊂ Ker v^k+1. Si Ker v^k = Ker v^k+1 et x ∈ Ker v^k+2, alors v(x) ∈ Ker v^k+1 = Ker v^k, donc x ∈ Ker v^k+1 : Ker v^k+1 = Ker v^k+2.
• 2. Si une égalité Ker v^k = Ker v^k+1 avait lieu avec k ≤ n − 2, la suite serait stationnaire à partir de k (question 1), d'où Ker v^k = Ker vⁿ⁻¹ = E et vⁿ⁻² = 0 : contradiction. Toutes les inclusions sont strictes jusqu'à Ker vⁿ⁻¹ = E.
• 3. 0 = d₀ < d₁ < … < d_n−1 = n sont des entiers : en montant depuis 0, d_k ≥ k ; en descendant depuis n, d_k ≤ n − (n − 1 − k) = k + 1. Donc k ≤ d_k ≤ k + 1.
• 4. Soit F un supplémentaire de Ker v^p dans Ker v^p+1, dim F = 2. v(F) ⊂ Ker v^p ; v est injective sur F (Ker v ⊂ Ker v^p et F ∩ Ker v^p = {0}), donc dim v(F) = 2 ; et v(F) ∩ Ker v^p−1 = {0} (si v(f) ∈ Ker v^p−1, alors f ∈ Ker v^p ∩ F, donc f = 0). Ainsi Ker v^p−1 ⊕ v(F) ⊂ Ker v^p et d_p ≥ d_p−1 + 2 ≥ (p − 1) + 2 = p + 1, ce qui contredit d_p = p.
• 5. Supposons qu'il existe q ∈ {1, …, n − 2} avec d_q = q, et prenons le plus grand. Alors d_q+1 = q + 2 (par maximalité si q + 1 ≤ n − 2, et parce que d_n−1 = n si q = n − 2), ce que la question 4 interdit. Donc d_q = q + 1 pour tout q ∈ {1, …, n − 2}. En particulier dim Ker v = 2 et rg v = n − 2.
• 6. Par l'absurde, supposons Ker v ⊂ Im v. Im v est stable par v ; soit g l'endomorphisme induit, sur un espace de dimension n − 2. Ker g = Ker v ∩ Im v = Ker v, de dimension 2. Mais gⁿ⁻² = 0 (car gⁿ⁻²(v(x)) = vⁿ⁻¹(x) = 0) et gⁿ⁻³ ≠ 0 (car gⁿ⁻³(v(x)) = vⁿ⁻²(x) ≠ 0 pour un x) : g est nilpotent d'indice égal à la dimension n − 2, donc les dim Ker g^k croissent strictement de 0 à n − 2 en n − 2 pas, chaque pas valant 1, et dim Ker g = 1. Contradiction : Ker v ⊄ Im v.
• 7(a). Si Σc_kv^k(y) = 0 avec un c_k ≠ 0 d'indice minimal k₀, appliquer v^n−2−k₀ donne c_k0vⁿ⁻²(y) = 0, absurde. La famille est libre : dim H = n − 1.
• 7(b). v(vⁿ⁻²(y)) = 0, donc H est stable par v. Un élément h = Σc_kv^k(y) de H est dans Ker v ssi c₀ = … = c_n−3 = 0, donc H ∩ Ker v = 𝕂vⁿ⁻²(y) ⊂ Im v. Comme x₀ ∈ Ker v \ Im v, x₀ ∉ H ; par dimension (n − 1 + 1 = n), E = H ⊕ 𝕂x₀.
• 7(c). C'est donc une base de E. J = diag(N_n−1, 0), où N_n−1 est la matrice d'ordre n − 1 avec des 1 sur la sous-diagonale (v(v^k(y)) = v^k+1(y), v(vⁿ⁻²(y)) = 0) : J a des 1 aux places (k + 1, k) pour 1 ≤ k ≤ n − 2, des 0 ailleurs, et sa dernière colonne est nulle (v(x₀) = 0).

2^e partie — B. Cas général

1. La matrice (1)

• (a) u(e_j) = e_j+1 pour j ≤ n − 2, u(e_n−1) = Σ_k=0ⁿ⁻²a_ke_k+1, u(e_n) = αe_n. Donc u^k(e₁) = e_k+1 pour 1 ≤ k ≤ n − 2 et uⁿ⁻¹(e₁) = Σ_k=0ⁿ⁻²a_ke_k+1.
• (b) R(u)(e₁) = uⁿ⁻¹(e₁) − Σa_ku^k(e₁) = Σa_ke_k+1 − Σa_ke_k+1 = 0 ; pour 2 ≤ k ≤ n − 1, R(u)(e_k) = u^k−1(R(u)(e₁)) = 0 ; R(u)(e_n) = R(α)e_n = 0. R annule u.
• (c) Si P ≠ 0 de degré ≤ n − 2 annulait u, P(u)(e₁) serait une combinaison non triviale de e₁, …, e_n−1, donc non nulle : absurde. Donc deg π_u ≥ n − 1 ; π_u divise R, unitaire de degré n − 1, donc π_u = R et u ∈ 𝒞.
• (d) M est diagonale par blocs (compagnon C_R d'ordre n − 1, α). Avec χ_CR = (−1)ⁿ⁻¹R : χ_u = (−1)ⁿ⁻¹R(X)(α − X) = (−1)ⁿ(X − α)R(X).

2. u ∈ 𝒞

• (a) π_u | χ_u (Cayley-Hamilton), deg χ_u = n, deg π_u = n − 1 : le quotient est de degré 1 à coefficients dans 𝕂 et le coefficient dominant de χ_u est (−1)ⁿ, d'où χ_u = (−1)ⁿ(X − α)π_u avec α ∈ 𝕂. α est valeur propre de u, donc racine de π_u : π_u(α) = 0. En particulier k ≥ 2.
• (b) χ_u = (X − α)^k·(±Q) : le lemme des noyaux (1^re partie A-1) donne E = Ker(u − αI)^k ⊕ Ker Q(u) ; appliqué à π_u = (X − α)^k−1Q, il donne E = Ker(u − αI)^k−1 ⊕ Ker Q(u). Ker(u − αI)^k−1 ⊂ Ker(u − αI)^k sont deux supplémentaires du même sous-espace, donc de même dimension : ils sont égaux. Si l'on avait Ker(u − αI)^k−2 = Ker(u − αI)^k−1, (X − α)^k−2Q annulerait u (sur chacun des deux facteurs de E), ce qui contredit la minimalité de π_u : Ker(u − αI)^k−2 ⊊ Ker(u − αI)^k−1 = Ker(u − αI)^k.
• (c) i. Dans Ker(u − αI)^k = Ker(u − αI)^k−1 : v^k−1 = 0 ; un x de Ker(u − αI)^k−1 \ Ker(u − αI)^k−2 donne v^k−2 ≠ 0.
  ii. Par 1^re partie A-2(c), dim Ker(u − αI)^k = k. Si k ≥ 3, la partie A (avec n remplacé par k) fournit x₀ ∈ Ker v \ Im v, donc u(x₀) = αx₀, et H₁ = vect(y, v(y), …, v^k−2(y)) stable par v, donc par u = v + αI, avec Ker(u − αI)^k = 𝕂x₀ ⊕ H₁. Si k = 2, v = 0 (u = αI sur ce plan) : tout x₀ ≠ 0 et toute droite supplémentaire H₁ conviennent.
• (d) H₁ ⊂ Ker(u − αI)^k, qui est en somme directe avec Ker Q(u) : la somme H = H₁ ⊕ Ker Q(u) est directe, et E = 𝕂x₀ ⊕ H₁ ⊕ Ker Q(u) = 𝕂x₀ ⊕ H. H est stable par u, somme de deux sous-espaces stables.
• (e) i. Dans une base adaptée à 𝕂x₀ ⊕ H, Mat u = diag(α, Mat w), donc χ_u = (α − X)χ_w, d'où χ_w = (−1)ⁿ⁻¹π_u. Ainsi χ_w(α) = 0 : α est valeur propre de w, donc π_w(α) = 0.
  ii. π_w(u) est nul sur H et π_w(u)(x₀) = π_w(α)x₀ = 0 : π_w annule u. Donc π_u | π_w et deg π_w ≥ n − 1 ; or π_w | χ_w, de degré dim H = n − 1. Donc deg π_w = n − 1 (et π_w = π_u).
• (f) Par 1^re partie B-5 appliquée à w, il existe e ∈ H avec π_e,w = π_w, de degré n − 1 : aucun polynôme non nul de degré ≤ n − 2 n'annule e, donc (e, w(e), …, wⁿ⁻²(e)) est libre, et c'est une base de H (n − 1 vecteurs). En écrivant π_w = Xⁿ⁻¹ − Σ_k=0ⁿ⁻²a_kX^k, on a wⁿ⁻¹(e) = Σa_kw^k(e) : la matrice de w est la matrice compagnon (des 1 sur la sous-diagonale, dernière colonne (a₀, …, a_n−2)), c'est-à-dire le bloc supérieur gauche de (1).
• (g) ℬ₁ = (e, w(e), …, wⁿ⁻²(e), x₀) : comme u(x₀) = αx₀, la matrice de u est de la forme (1), avec αⁿ⁻¹ = Σa_kα^k puisque π_u(α) = 0.

3. Caractérisation matricielle

• ⟸ : si P⁻¹AP = M de la forme (1) avec α racine de R, alors π_A = π_M = R par 1(c), de degré n − 1.
• ⟹ : on applique 2(g) à l'endomorphisme canoniquement associé à A ; P est la matrice de passage de la base canonique à ℬ₁. deg π_A = n − 1 ⟺ A est semblable à une matrice (1) avec αⁿ⁻¹ = Σa_kα^k.
• Si 𝕂 = ℝ et det P < 0, on remplace x₀ par −x₀ : la matrice de u ne change pas (u(−x₀) = α(−x₀)) et le déterminant de la matrice de passage change de signe. On peut donc prendre P ∈ GL_n⁺(ℝ).

3^e partie — connexité par arcs de 𝒞(𝕂)

• 1(a). det A est un polynôme en les coefficients a_i,j, donc det est continue. GL_n(ℂ) = det⁻¹(ℂ*) et GL_n⁺(ℝ) = det⁻¹(]0, +∞[) sont des images réciproques d'ouverts : G(𝕂) est un ouvert.
• 1(b). Cauchy-Schwarz : |(AB)_i,j|² = |Σ_ka_i,kb_k,j|² ≤ (Σ_k|a_i,k|²)(Σ_k|b_k,j|²) ; en sommant sur i et j : ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖.
• 1(c). Posons K = A⁻¹H : ‖K‖ ≤ ‖A⁻¹‖‖H‖ < 1, donc ‖K^m‖ ≤ ‖K‖^m et la série Σ(−K)^m converge absolument dans M_n(𝕂), qui est complet. (I_n + K)Σ_m=0^N(−K)^m = I_n − (−K)^N+1 → I_n, donc I_n + K est inversible d'inverse Σ(−K)^m, et A + H = A(I_n + K) est inversible. Ainsi (A + H)⁻¹ − A⁻¹ = Σ_m≥1(−1)^m(A⁻¹H)^mA⁻¹.
• 1(d). ‖(A + H)⁻¹ − A⁻¹‖ ≤ Σ_m≥1(‖A⁻¹‖‖H‖)^m‖A⁻¹‖ = ‖A⁻¹‖²‖H‖ / (1 − ‖A⁻¹‖‖H‖) → 0 quand H → 0 : ℐ est continue en tout point de G(𝕂). (Pour G = GL_n⁺(ℝ), A + H reste dans G pour H petit, puisque G est ouvert.)
• 2(a). En développant le déterminant, T(x) est une somme de produits de n coefficients affines en x : T est un polynôme de degré ≤ n, et T(0) = det A ≠ 0, donc T n'est pas le polynôme nul.
• 2(b) i. Chaque morceau de γ est continu et, en t = 1/2, les deux expressions valent 1/2 + ir : γ, et donc φ, est continue. φ(0) = A (γ(0) = 0) et φ(1) = B (γ(1) = 1).
• 2(b) ii. det φ(t) = T(γ(t)) ; il suffit que γ ne passe par aucun z_i. On a Re γ(t) = t et Im γ(t) ∈ [0, r], avec Im γ(t) > 0 pour 0 < t < 1 et γ(0) = 0, γ(1) = 1, qui ne sont pas racines de T (T(0) = det A ≠ 0, T(1) = det B ≠ 0). Les racines telles que Im z_i ≤ 0 ne sont donc jamais atteintes, et celles telles que Im z_i > 0 non plus si r < min{Im z_i, i ∈ I} (r > 0 quelconque si I est vide). Alors φ est un chemin continu de A à B dans GL_n(ℂ) : GL_n(ℂ) est connexe par arcs.
• 3. P ↦ PJP⁻¹ est continue sur G(𝕂) (produit et inversion continus, 1(d)), et G(𝕂) est connexe par arcs (2 pour ℂ, admis pour ℝ). L'image continue d'un connexe par arcs l'est aussi : {PJP⁻¹, P ∈ G(𝕂)} est connexe par arcs.
• 4. Pour M(t), les nouveaux paramètres sont α' = tα, a'_k = ta_k (1 ≤ k ≤ n − 2) et a'₀ = ε(t) + a₀ = (tα)ⁿ⁻¹ − Σ_k=1ⁿ⁻²ta_k(tα)^k. On vérifie Σ_k=0ⁿ⁻²a'_kα'^k = (tα)ⁿ⁻¹ = α'ⁿ⁻¹, donc par 2^e partie B-1(c), M(t) ∈ 𝒞(𝕂). Les coefficients sont polynomiaux en t : ψ est continue. ψ(0) = J (tous les paramètres sont nuls, car n − 1 ≥ 2) et ψ(1) = M (ε(1) = αⁿ⁻¹ − Σ_k=0ⁿ⁻²a_kα^k = 0).
• 5. Soit A ∈ 𝒞(𝕂). Par 2^e partie B-3, A = PMP⁻¹ avec P ∈ G(𝕂) et M de la forme (1). Le chemin t ↦ PM(t)P⁻¹ reste dans 𝒞(𝕂) (des matrices semblables ont le même polynôme minimal) et relie PJP⁻¹ à A ; puis PJP⁻¹ est relié à J dans {QJQ⁻¹} ⊂ 𝒞(𝕂) (π_J = Xⁿ⁻¹, par A-7). Tout point de 𝒞(𝕂) est relié à J par un chemin dans 𝒞(𝕂) : 𝒞(𝕂) est connexe par arcs.

💡 À retenir et à réviser pour le CNC MP : lemme des noyaux et sous-espaces caractéristiques (dim = multiplicité), polynôme minimal local π_x,u et existence d'un vecteur e tel que π_e,u = π_u (résultat classique à savoir redémontrer), matrices compagnons, suites des noyaux itérés d'un nilpotent, séries de Neumann et continuité de l'inversion, connexité par arcs de GL_n(ℂ) (astuce du polynôme T(x) = det(xB + (1 − x)A)) et de GL_n⁺(ℝ). Citez toujours la question utilisée, l'énoncé insistant sur les références.