نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2014: الرياضيات 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2014, filière MP, organisé pour l'admission dans les écoles d'ingénieurs marocaines (présidence : École Mohammadia d'Ingénieurs). Durée : 4 heures, calculatrice interdite. Le sujet est de type problème : un exercice d'analyse à deux variables (extremums d'une fonction sur [0,1]²) et un long problème « À propos de l'unimodularité des zéros d'un polynôme auto-inverse » (séries entières, intégrale curviligne, théorème de Gauss-Lucas, principe de l'argument, polynômes auto-inverses). Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : l'exercice est entièrement faisable en 40 minutes et rapporte des points sûrs (inégalité AM-GM, compacité, points critiques). Dans le problème, retenez trois outils qui reviennent sans cesse : la formule 1.4 (∫_γ dz/(z−β) = 2iπ ou 0), la dérivée logarithmique P'/P = Σ α_k/(z−z_k) et la caractérisation (1) : P(z) = ε z^d P̄(1/z). Les questions 3.x et 4.x s'enchaînent : même si vous bloquez, admettez le résultat et utilisez-le plus loin en citant la référence.

Exercice

F(1,1) = 0 et F(x,y) = xy(1−x)(1−y)/(1−xy) si (x,y) ≠ (1,1).

1. Inégalité

(1−x)(1−y) = 1 − (x+y) + xy. Par l'inégalité arithmético-géométrique, x + y ≥ 2√(xy), donc (1−x)(1−y) ≤ 1 − 2√(xy) + xy = (1 − √(xy))².

2. Continuité

Sur [0,1]² \ {(1,1)}, on a xy < 1, donc F est une fraction rationnelle à dénominateur non nul : continue. En (1,1) : 0 ≤ F(x,y) ≤ xy(1−√(xy))²/(1−xy) = xy(1−√(xy))/(1+√(xy)) (car 1−xy = (1−√(xy))(1+√(xy))). Le majorant tend vers 0 quand (x,y) → (1,1), donc F(x,y) → 0 = F(1,1). F est continue sur [0,1]².

3. Bornes

[0,1]² est un fermé borné de R², donc compact ; une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

4. Borne inférieure

Tous les facteurs sont ≥ 0, donc F ≥ 0 ; F s'annule dès que x = 0, y = 0, x = 1 ou y = 1. inf F = 0, atteinte exactement sur le bord du carré {x=0} ∪ {y=0} ∪ {x=1} ∪ {y=1} (à l'intérieur, F > 0).

5. Classe C¹ et dérivées partielles

Sur ]0,1[², F est une fraction rationnelle dont le dénominateur 1−xy ne s'annule pas : F est C^∞, a fortiori C¹. En écrivant F = y(1−y)·x(1−x)/(1−xy) :

∂F/∂x = y(1−y)(1 − 2x + x²y)/(1−xy)² et, par symétrie, ∂F/∂y = x(1−x)(1 − 2y + xy²)/(1−xy)².

(Calcul : d/dx [x(1−x)/(1−xy)] = [(1−2x)(1−xy) + xy(1−x)]/(1−xy)² = (1 − 2x + x²y)/(1−xy)².)

6. Point critique

Sur ]0,1[², x(1−x) > 0 et y(1−y) > 0, donc le système est : 1 − 2x + x²y = 0 et 1 − 2y + xy² = 0. Par différence : 2(y−x) + xy(x−y) = 0, soit (x−y)(xy−2) = 0 ; comme xy < 1, x = y. Alors x³ − 2x + 1 = 0 = (x−1)(x²+x−1), d'où la seule solution dans ]0,1[ : x₀ = y₀ = a = (√5 − 1)/2.

7. Valeur du maximum

a vérifie a² = 1 − a et a(1+a) = 1. Donc F(a,a) = a²(1−a)²/(1−a²) = a²(1−a)/(1+a) = a²·a²·a = a⁵. Avec a³ = 2a−1, a⁴ = 2−3a, a⁵ = 5a−3 : F(x₀,y₀) = (5√5 − 11)/2 ≈ 0,090.

Justification : d'après 3, F atteint son maximum M en un point ; M > 0 (F > 0 à l'intérieur) alors que F = 0 sur le bord, donc ce point est intérieur. En un extremum intérieur d'une fonction C¹, le gradient est nul : c'est un point critique, donc (x₀,y₀) par unicité. Ainsi F(x₀,y₀) = sup F.

Problème — Partie 1 : résultats préliminaires

1.1

1/(1−z) = Σ_n≥0 zⁿ, rayon de convergence R = 1 (série géométrique).

1.2

Pour |β| < 1 : e^it/(e^it−β) = 1/(1 − βe^−it) et |βe^−it| = |β| < 1, donc = Σ_m≥0 β^m e^−imt.

1.3

Pour |β| > 1 : e^it/(e^it−β) = −(e^it/β)·1/(1 − e^it/β) avec |e^it/β| < 1, d'où = −(e^it/β) Σ_m≥0 β^−m e^imt.

1.4

∫_γ f(z) dz = ∫₀^2π i e^it/(e^it−β) dt. Les séries de 1.2 et 1.3 convergent normalement sur [0,2π] (terme général majoré par |β|^m, resp. |β|^−m−1, sommables) : on peut intégrer terme à terme.

• |β| < 1 : ∫₀^2π e^−imt dt = 2π si m = 0 et 0 sinon, donc l'intégrale vaut 2iπ.
• |β| > 1 : on obtient −(i/β) Σ β^−m ∫₀^2π e^i(m+1)t dt, et m+1 ≥ 1 donne des intégrales nulles : 0.

1.5 Stricte convexité

|λv + μw|² = λ² + μ² + 2λμ Re(v w̄). Comme v w̄ ∈ U et v ≠ w, v w̄ ≠ 1 donc Re(v w̄) < 1. Avec λμ > 0 : |λv + μw|² < (λ+μ)² = 1, donc |λv + μw| < 1.

Partie 2 : localisation des racines

2.1 Dérivée logarithmique

P = a Π(X−z_k)^α_k. En dérivant le produit : P' = a Σ_k α_k(X−z_k)^α_k−1 Π_j≠k(X−z_j)^α_j ; en divisant par P(z) ≠ 0 : P'(z)/P(z) = Σ α_k/(z − z_k).

2.2.1

P'(ω) = 0 et P(ω) ≠ 0 donnent Σ α_k/(ω − z_k) = 0. Or 1/(ω−z_k) = conj(ω−z_k)/|ω−z_k|² ; en conjuguant (les α_k sont réels) : Σ α_k(ω − z_k)/|ω − z_k|² = 0.

2.2.2

Posons c_k = α_k/|ω−z_k|² > 0. Alors ω Σc_k = Σ c_kz_k et β_k = c_k/Σ_jc_j conviennent (strictement positifs, de somme 1).

2.3 Théorème de Gauss-Lucas

Si ω racine de P' n'est pas racine de P : 2.2.2. Si ω est racine de P, ω = z_j pour un j, barycentre avec β_j = 1 et β_k = 0 sinon. Dans tous les cas, ω est barycentre à coefficients positifs des racines de P.

2.4.1

Un ensemble fini est fermé, donc C \ {z₁,…,z_r} est ouvert ; il contient U puisque P ne s'annule pas sur U. P'/P est un quotient de fonctions polynomiales continues à dénominateur non nul : continue.

2.4.2 Principe de l'argument

Par 2.1 et la linéarité de l'intégrale : (1/2iπ)∫_γ P'/P = Σ α_k (1/2iπ)∫_γ dz/(z−z_k). Par 1.4 (|z_k| ≠ 1), chaque terme vaut α_k si |z_k| < 1 et 0 si |z_k| > 1. Donc (1/2iπ)∫_γ P'/P = Σ_|zk|<1 α_k = nombre de racines de module < 1 comptées avec multiplicité.

Partie 3 : condition suffisante d'unimodularité

Rappel : P = Σ a_kX^k de degré d est auto-inverse de paramètre ε ≠ 0 si a_k = ε conj(a_d−k) pour tout k.

3.1

S_n = Σ_k=0²ⁿ(k−n)X^k a pour coefficient dominant n ≠ 0, donc degré d = 2n. a_2n−k = n−k = −a_k et les coefficients sont réels : a_k = −conj(a_d−k). S_n est auto-inverse de paramètre ε = −1.

3.2.1

a_d = ε conj(a₀) et a₀ = ε conj(a_d), donc a_d = ε ε̄ a_d = |ε|²a_d ; a_d ≠ 0 donne |ε| = 1. Puis P(0) = a₀ = ε conj(a_d) ≠ 0.

3.2.2

Pour z ≠ 0 : ε z^d P̄(1/z) = Σ_k ε conj(a_k) z^d−k = Σ_j ε conj(a_d−j) z^j. Deux polynômes égaux sur l'ensemble infini C* ont les mêmes coefficients : l'égalité (1) équivaut à a_j = ε conj(a_d−j) pour tout j. D'où l'équivalence.

3.3

Coefficients de P+Q : conj(a_k+b_k) = conj(a_k) + conj(b_k). Coefficients de PQ : c_k = Σ_i a_ib_k−i, et conj(c_k) = Σ conj(a_i)conj(b_k−i). Donc conj(P+Q) = P̄+Q̄ et conj(PQ) = P̄ Q̄.

3.4.1

T = (X−1)P est de degré d+1 et T̄ = (X−1)P̄ (3.3). Pour z ≠ 0 : z^d+1T̄(1/z) = z^d+1(1/z − 1)P̄(1/z) = −(z−1) z^dP̄(1/z) = −(z−1)P(z)/ε. Donc T(z) = (−ε) z^d+1 T̄(1/z) : (X−1)P est auto-inverse de paramètre −ε.

3.4.2

P_μ a pour coefficients a_kμ^k (degré d, car a_dμ^d ≠ 0). Comme |ε| = |μ| = 1 : conj(a_d−k) = ε̄a_k et conj(μ^d−k) = μ^k−d. Alors (εμ^d)·conj(a_d−kμ^d−k) = εμ^d·ε̄a_k·μ^k−d = a_kμ^k. P_μ est auto-inverse de paramètre εμ^d.

3.4.3

P = a Π_k=1^d(X−z_k) (racines répétées), |z_k| = 1 donc 1/z̄_k = z_k. P̄ = ā Π(X − z̄_k) et z^dP̄(1/z) = ā Π(1 − z̄_kz) = ā Π(−z̄_k)(z − z_k) = (ā/a) Π(−z̄_k) · P(z). Donc P(z) = ε z^dP̄(1/z) avec ε = (a/ā)(−1)^d Π z_k ≠ 0 : P est auto-inverse (3.2.2).

3.4.4

P = (X−2)(X−1/2) = X² − (5/2)X + 1 : coefficients réels symétriques (a₀ = a₂ = 1), donc auto-inverse de paramètre 1, et la racine 2 est de module ≠ 1.

3.5

Q = Σ_k=0ⁿ b_kX^k, b_n ≠ 0. zⁿQ̄(1/z) = Σ conj(b_k) z^n−k est un polynôme de degré ≤ n < d, et z^d−nQ(z) est de degré d. Donc deg R = d, a_d = b_n. Ensuite R̄(z) = z^d−nQ̄(z) + ε̄ zⁿQ(1/z), d'où z^dR̄(1/z) = zⁿQ̄(1/z) + ε̄ z^d−nQ(z), et ε z^dR̄(1/z) = ε zⁿQ̄(1/z) + |ε|² z^d−nQ(z) = R(z). R est auto-inverse de paramètre ε (3.2.2).

3.6.1

Pour z ∈ U, 1/z = z̄, donc Q2(z) = ε zⁿ Q̄(z̄) = ε zⁿ conj(Q(z)). D'où |Q2(z)| = |Q(z)| = |z^d−nQ(z)| = |Q1(z)|.

3.6.2

Si z ∈ U et Q1(z) + λQ2(z) = 0 avec λ ∈ [0,1[, alors |Q1(z)| = λ|Q2(z)| = λ|Q1(z)|, donc Q1(z) = 0, soit Q(z) = 0 avec |z| = 1 : contradiction avec |racines de Q| < 1. R_λ ne s'annule pas sur U.

3.6.3

Continuité : l'intégrande (λ,t) ↦ i e^it(Q1'+λQ2')(e^it)/(Q1+λQ2)(e^it) est continue sur [0,1[ × [0,2π] (dénominateur non nul par 3.6.2). Sur tout [0,c] × [0,2π] (c < 1), compact, elle est bornée : théorème de continuité des intégrales à paramètre (domination par une constante sur un segment). Valeurs entières : R_λ est de degré d (coefficient dominant b_n, car deg Q2 ≤ n < d) et ne s'annule pas sur U ; par 2.4.2 l'intégrale est le nombre de racines de R_λ de module < 1, un entier.

3.6.4

Fonction continue à valeurs dans Z sur l'intervalle [0,1[ (connexe) : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle est constante.

3.6.5

En λ = 0 : R₀ = Q1 = X^d−nQ a pour racines 0 (ordre d−n) et les n racines de Q, toutes de module < 1 : la valeur est d. Donc pour tout λ ∈ [0,1[, R_λ (de degré d) a d racines dans le disque ouvert : toutes ses racines sont de module < 1.

3.7.1

Prenons λ_m = 1 − 1/m. La suite des d-uplets (z_1,λm, …, z_d,λm) vit dans le compact (disque unité fermé)^d de C^d : par Bolzano-Weierstrass, on en extrait une sous-suite convergente, et la sous-suite correspondante de (λ_m) tend toujours vers 1. Les limites z_k vérifient |z_k| ≤ 1 (disque fermé).

3.7.2

Coefficient par coefficient : ceux de Q1 + λ_mQ2 tendent vers ceux de Q1 + Q2 = R ; ceux de a_dΠ(X − z_k,λm) sont ±a_d fois les fonctions symétriques élémentaires des racines, continues, qui tendent vers celles des z_k. Par unicité de la limite : R = a_d Π(X − z_k).

3.7.3

R est auto-inverse (3.5), donc R(0) ≠ 0 (3.2.1). Si R(z) = 0, alors z ≠ 0 et (1) donne R̄(1/z) = 0, c'est-à-dire R(1/z̄) = 0 : 1/z̄ est aussi une racine, donc de module ≤ 1 par 3.7.2, soit |z| ≥ 1. Avec |z| ≤ 1 : toutes les racines de R sont de module 1.

Partie 4 : applications

4.1.1

A_n = (Xⁿ⁺¹ − 1)/(X − 1) : ses racines sont les e^2ikπ/(n+1), k = 1,…,n. Ce sont n complexes distincts pour un polynôme de degré n : elles sont simples et de module 1.

4.1.2

Les racines de A_n étant simples, aucune racine ω de A_n' n'est racine de A_n. Par 2.2.2, ω = Σβ_ku_k avec β_k > 0 de somme 1 et u_k les n ≥ 2 racines distinctes de U. Par le résultat admis après 1.5 : |ω| < 1.

4.1.3

B_n = X A_n' a pour racines 0 et celles de A_n' : toutes de module < 1.

4.1.4

On coupe S_n en deux : Σ_k=n+1²ⁿ(k−n)z^k = zⁿΣ_j=1ⁿ j z^j = zⁿB_n(z), et Σ_k=0ⁿ⁻¹(k−n)z^k = −Σ_j=1ⁿ j z^n−j = −zⁿB_n(1/z). Donc S_n(z) = z²ⁿ⁻ⁿB_n(z) + (−1) zⁿ B̄_n(1/z) (B_n est réel, B̄_n = B_n) : forme (2) avec Q = B_n de degré n, d = 2n > n, ε = −1. Les racines de B_n étant de module < 1, les parties 3.5–3.7 donnent : toutes les racines de S_n sont de module 1.

4.2 Condition nécessaire et suffisante

• ⇒ : si toutes les racines de P sont de module 1, P est auto-inverse (3.4.3), et toute racine de P' est barycentre à coefficients positifs de points du disque fermé (2.3), convexe : elle est de module ≤ 1.
• ⇐ : dérivons (1) : P'(z) = εd z^d−1P̄(1/z) − ε z^d−2P̄'(1/z). En multipliant par z et avec (1) : zP'(z) = dP(z) − ε z^d−1(P')‾(1/z), car la dérivée de P̄ est conj(P'). D'où dP(z) = z^d−(d−1)P'(z) + ε z^d−1(P')‾(1/z) : forme (2) avec R = dP et Q = P' (degré d−1), dont les racines sont de module ≤ 1. Le résultat admis donne : les racines de dP, donc de P, sont de module 1. (Cas d = 1 direct : P = a₁X + a₀ avec |a₀| = |ε||a₁| = |a₁|, la racine est de module 1.)

4.3.1

Représentation (2). Si d = 2p, Q = a_p/2 + Σ_k=1^p a_p+kX^k (degré p, dominant a_d) : z^pQ(z) donne a_pz^p/2 + Σ a_p+kz^p+k, et ε z^pQ̄(1/z) = εā_pz^p/2 + Σ εā_p+kz^p−k = a_pz^p/2 + Σ a_p−kz^p−k. La somme est P(z). Si d = 2p+1, Q = Σ_k=1^p+1a_p+kX^k−1 (degré p) : z^p+1Q(z) = Σ_k=1^p+1 a_p+kz^p+k et ε z^pQ̄(1/z) = Σ a_p+1−kz^p+1−k : la somme est encore P.

Racines de Q. Comme |a_k| = |a_d−k| (|ε| = 1), (1/2)Σ_k=1^d−1|a_k| = Σ_k=p+1^d−1|a_k| + |a_p|/2 (cas pair) ou Σ_k=p+1^2p|a_k| (cas impair) : c'est exactement la somme des modules des coefficients non dominants de Q, notée S, et l'hypothèse dit S ≤ |a_d|. Si |z| > 1 : |a_d||z|^p > |a_d||z|^p−1 ≥ S|z|^p−1 ≥ |Q(z) − a_dz^p|, donc Q(z) ≠ 0. Les racines de Q sont de module ≤ 1, et le résultat admis donne : les racines de P sont toutes de module 1.

4.3.2

T = (X−1)P est auto-inverse (3.4.1), de degré d+1, de coefficients c₀ = −a₀, c_k = a_k−1 − a_k (1 ≤ k ≤ d), c_d+1 = a_d. L'hypothèse s'écrit |c_d+1| ≥ (1/2)Σ_k=1^d|c_k|, qui est celle de 4.3.1 pour T. Donc les racines de T sont de module 1, et celles de P, qui en font partie, aussi. Conclusion : racines de P de module 1.

4.3.3

ν ↦ Σ|a_k − νa_k+1| est continue sur le compact U : l'inf est atteint en un μ ∈ U. P_μ est auto-inverse de degré d (3.4.2), de coefficients a_kμ^k, et |a_kμ^k − a_k+1μ^k+1| = |a_k − μa_k+1|, |a_dμ^d| = |a_d|. L'hypothèse de 4.3.2 est donc vérifiée par P_μ : ses racines w sont de module 1, et les racines de P sont les μw : de module 1.

💡 À retenir pour le CNC MP (Maths I) : ce sujet mobilise des classiques à maîtriser par cœur : extremums sur un compact (continuité + points critiques intérieurs + bord), séries entières et interversion série/intégrale par convergence normale, dérivée logarithmique et théorème de Gauss-Lucas, principe de l'argument « discret » via 1/(z−β), compacité (Bolzano-Weierstrass dans C^d) et continuité des racines d'un polynôme, fonctions à valeurs entières continues sur un intervalle. Révisez aussi les polynômes réciproques (auto-inverses) et le critère de Cohn / Schur-Cohn, qui reviennent régulièrement dans les sujets d'algèbre des concours.